Jak vyřešit rovnici druhé odmocniny

Druhá odmocnina čísla je hodnota, která po vynásobení dává původní číslo. Například druhá odmocnina 0 je 0, druhá odmocnina 100 je 10 a druhá odmocnina 50 je 7,071. Někdy můžete zjistit nebo si jednoduše vybavit druhou odmocninu čísla, které je samo o sobě „dokonalým druhou mocninou“, což je součin celého čísla vynásobeného samotným; jak budete postupovat ve studiu, pravděpodobně si vytvoříte mentální seznam těchto čísel (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problémy zahrnující druhou odmocninu jsou nepostradatelné ve strojírenství, počtu a prakticky ve všech oblastech moderního světa. I když kalkulačky rovnic s odmocninou můžete snadno najít online (příklad najdete v Zdrojích), řešení rovnic s odmocninou je důležitý dovednost v algebře, protože vám umožní seznámit se s používáním radikálů a pracovat s řadou typů problémů mimo oblast odmocnin per se.

Skutečnost, že vynásobením dvou záporných čísel dohromady získáte kladné číslo, je ve světě odmocnin důležité, protože z toho vyplývá že kladná čísla mají ve skutečnosti dvě odmocniny (například odmocniny 16 jsou 4 a −4, i když intuitivní je pouze ta první). Podobně záporná čísla nemají skutečné druhé odmocniny, protože neexistuje žádné reálné číslo, které po vynásobení samo o sobě získá zápornou hodnotu. V této prezentaci bude záporná druhá odmocnina kladného čísla ignorována, takže „druhou odmocninu 361“ lze brát jako „19“ místo „−19 a 19.“

Když se pokoušíte odhadnout hodnotu druhé odmocniny, když není k dispozici žádná kalkulačka, je důležité si uvědomit, že funkce zahrnující druhé a druhé odmocniny nejsou lineární. Více o tom uvidíte v části o grafech později, ale jako hrubý příklad jste již zaznamenali, že druhá odmocnina 100 je 10 a druhá odmocnina 0 je 0. Při pohledu na to by vás mohlo vést k hádání, že druhá odmocnina pro 50 (což je v polovině mezi 0 a 100) musí být 5 (což je v polovině mezi 0 a 10). Ale také jste se již naučili, že druhá odmocnina 50 je 7,071.

Nakonec jste možná internalizovali myšlenku, že vynásobením dvou čísel dohromady získáte číslo větší než on sám, z čehož vyplývá, že druhé odmocniny čísel jsou vždy menší než originál číslo. Toto není ten případ! Čísla mezi 0 a 1 mají také druhou odmocninu a v každém případě je druhá odmocnina větší než původní číslo. To se nejsnadněji zobrazuje pomocí zlomků. Například 16/25 nebo 0,64 má dokonalý čtverec v čitateli i jmenovateli. To znamená, že druhá odmocnina zlomku je druhá odmocnina jeho horní a dolní komponenty, což je 4/5. To se rovná 0,80, což je větší číslo než 0,64.

"Druhá odmocnina zX„je obvykle psáno pomocí toho, co se nazývá radikál, nebo jen radikál (√). Tak pro všechnyX​:

představuje druhou odmocninu. Když to otočíme, čtverec číslaXse zapisuje pomocí exponentu 2 (X​²). Exponenti přebírají horní indexy pro zpracování textu a související aplikace a také se jim říká mocnosti. Vzhledem k tomu, že radikální znaky nejsou vždy snadno vyrobitelné na vyžádání, existuje další způsob psaní „druhé odmocniny zX"je použít exponent:

Toto je zase součástí obecného schématu:

znamená „zvýšitXk mociy, pak vezmětez"kořen toho."X​^1/2 tedy znamená „zvýšitXk první moci, což je jednodušeXznovu, a pak z toho vydělejte 2 odmocniny nebo druhou odmocninu. "X​^(5/3) znamená „zvýšitXna mocninu 5, pak najděte třetí kořen (nebo kořen krychle) výsledku. “

Radikály mohou být použity k reprezentaci kořenů jiných než 2, druhé odmocniny. To se děje jednoduchým připojením horního indexu vlevo nahoře od radikálu.

pak představuje stejné číslo jakoX​^(5/3) z předchozího odstavce ano.

Většina odmocnin je iracionálních čísel. To znamená, že nejen že nejsou hezká, přehledná celá čísla (např. 1, 2, 3, 4.. .), ale také je nelze vyjádřit jako úhledné desetinné číslo, které končí bez nutnosti zaokrouhlování. Racionální číslo lze vyjádřit jako zlomek. Přestože 2,75 není celé číslo, je to racionální číslo, protože je to totéž jako zlomek 11/4. Dříve vám bylo řečeno, že druhá odmocnina 50 je 7,071, ale ve skutečnosti je to zaokrouhleno z nekonečného počtu desetinných míst. Přesná hodnota √50 je 5√2 a uvidíte, jak se to brzy určí.

Už jste viděli, že rovnice zahrnující druhé a druhé odmocniny jsou nelineární. Jeden snadný způsob, jak si to zapamatovat, je, že grafy řešení těchto rovnic nejsou čáry. To dává smysl, protože pokud, jak je uvedeno, čtverec 0 je 0 a čtverec 10 je 100, ale čtverec 5 není 50, graf vyplývající z pouhého umocnění čísla se musí křivkou dostat do správné polohy hodnoty.

To je případ grafu

jak sami vidíte návštěvou kalkulačky v části Zdroje a změnou parametrů. Linka prochází bodem (0,0) a y neklesne pod 0, což byste měli očekávat, protože to víteX​² není nikdy negativní. Můžete také vidět, že graf je symetrický kolemy-osa, což také dává smysl, protože každá kladná druhá odmocnina daného čísla je doprovázena zápornou druhou odmocninou stejné velikosti. Proto, s výjimkou 0, každýyhodnota v grafuy​ = ​X​² je spojena se dvěmaX-hodnoty.

Jedním ze způsobů, jak řešit základní problémy s druhou odmocninou ručně, je hledat dokonalé čtverce „ukryté“ uvnitř problému. Nejprve je důležité si uvědomit několik životně důležitých vlastností čtverců a odmocnin. Jedním z nich je to, stejně jako √X​² se prostě rovnáX(protože radikál a exponent se navzájem ruší):

To znamená, že pokud máte dokonalý čtverec pod radikálem, který vynásobí další číslo, můžete jej „vytáhnout“ a použít jej jako koeficient zbývajícího. Například návrat k druhé odmocnině 50

Někdy můžete skončit s číslem zahrnujícím druhé odmocniny, které je vyjádřeno jako zlomek, ale stále je to iracionální číslo, protože jmenovatel, čitatel nebo oba obsahují radikál. V takových případech můžete být požádáni o racionalizaci jmenovatele. Například číslo

má radikál v čitateli i jmenovateli. Ale po prozkoumání „45“ jej můžete poznat jako součin 9 a 5, což znamená

Zlomek lze tedy zapsat

Radikály se navzájem ruší a vám zbývá 6/3 = 2.