Algebra označuje první skutečný koncepční skok, který musí studenti ve světě matematiky udělat, naučit se manipulovat s proměnnými a pracovat s rovnicemi. Jak začnete pracovat s rovnicemi, narazíte na některé běžné výzvy, včetně exponentů, zlomků a více proměnných. To vše lze zvládnout pomocí několika základních strategií.
Základní strategie pro algebraické rovnice
Základní strategií řešení jakékoli algebraické rovnice je nejprve izolovat proměnný člen na jedné straně rovnice a poté podle potřeby použít inverzní operace k odstranění všech koeficientů nebo exponenty. Inverzní operace „zruší“ jinou operaci; například dělení „zruší“ vynásobení koeficientu a druhé odmocniny „zruší“ operaci druhé mocniny exponenta druhé mocniny.
Všimněte si, že pokud použijete operaci na jednu stranu rovnice, musíte použít stejnou operaci na druhou stranu rovnice. Zachováním tohoto pravidla můžete změnit způsob psaní výrazů rovnice, aniž byste změnili jejich vzájemný vztah.
Řešení rovnic s oponenty
Typy rovnic s exponenty, se kterými se během cesty algebrou setkáte, mohou snadno zaplnit celou knihu. Prozatím se zaměřte na zvládnutí nejzákladnějších exponentových rovnic, kde máte jeden proměnný člen s exponentem. Například:
y ^ 2 + 3 = 19
Odečtěte 3 od obou stran rovnice a nechejte proměnný člen izolovaný na jedné straně:
y ^ 2 = 16
Odstraňte exponenta od proměnné aplikací radikálu stejného indexu. Nezapomeňte, že to musíte udělat na obou stranách rovnice. V tomto případě to znamená vzít druhou odmocninu na obou stranách:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Což zjednodušuje:
y = 4
Řešení rovnic zlomky
Co když vaše rovnice zahrnuje zlomek? Zvažte příklad
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Pokud distribuujete zlomek 3/4 napříč (X+ 7), věci mohou být rychle špinavé. Zde je mnohem jednodušší strategie.
Vynásobte obě strany rovnice jmenovatelem zlomku. V tomto případě to znamená vynásobení obou stran zlomku 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Zjednodušte obě strany rovnice. To funguje na:
3 (x + 7) = 24
Můžete to znovu zjednodušit, což má za následek:
3x + 21 = 24
Odečtěte 21 od obou stran a oddělte proměnný člen na jedné straně rovnice:
3x = 3
Nakonec rozdělte obě strany rovnice o 3 a dokončete řešení proX:
x = 1
Řešení jedné rovnice se dvěma proměnnými
Pokud mátejedenrovnice se dvěma proměnnými, pravděpodobně budete požádáni, abyste vyřešili pouze jednu z těchto proměnných. V takovém případě budete postupovat stejným způsobem, jaký byste použili pro jakoukoli algebraickou rovnici s jednou proměnnou. Zvažte příklad
5x + 4 = 2r
pokud budete požádáni o vyřešeníX.
Odečtěte 3 od každé strany rovnice a ponechteXsamotný výraz na jedné straně znaménka rovná se:
5x = 2r - 4
Rozdělte obě strany rovnice o 5, abyste odstranili koeficient zXobdobí:
x = \ frac {2r - 4} {5}
Pokud vám nejsou poskytnuty žádné další informace, je to tak daleko, jak můžete provést výpočty.
Řešení dvou rovnic pomocí dvou proměnných
Pokud jste dostali systém (nebo skupinu)dvarovnice, které mají v sobě stejné dvě proměnné, to obvykle znamená, že rovnice jsou příbuzné - a k vyhledání hodnot pro obě proměnné můžete použít techniku zvanou substituce. Zvažte rovnici z posledního příkladu plus druhou související rovnici, která používá stejné proměnné:
5x + 4 = 2r \\ x + 3y = 23
Vyberte jednu rovnici a vyřešte tuto rovnici pro jednu z proměnných. V tomto případě použijte to, co už víte o první rovnici z předchozího příkladu, pro kterou jste již vyřešiliX:
x = \ frac {2r - 4} {5}
Nahraďte výsledek z kroku 1 do jiné rovnice. Jinými slovy, nahraďte hodnotu (2y- 4) / 5 pro všechny případyXv druhé rovnici. Získáte tak rovnici s jedinou proměnnou:
\ frac {2r - 4} {5} + 3r = 23
Zjednodušte rovnici z kroku 2 a vyřešte zbývající proměnnou, která v tomto případě jey.
Začněte vynásobením obou stran číslem 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
To zjednodušuje:
2y - 4 + 15y = 115
Po kombinaci podobných výrazů se to dále zjednodušuje na:
17y = 119
A nakonec, po rozdělení obou stran 17, máte:
y = 7
Nahraďte hodnotu z kroku 3 do rovnice z kroku 1. To vám dává:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Což zjednodušuje odhalení hodnotyX:
x = 2
Řešení pro tento systém rovnic tedy jeX= 2 ay = 7.