Rovnice jsou pravdivé, pokud jsou obě strany stejné. Vlastnosti rovnic ilustrují různé koncepty, které udržují obě strany rovnice stejné, ať už přidáváte, odečítáte, násobíte nebo dělíte. V algebře písmena znamenají čísla, která neznáte, a vlastnosti jsou psány písmeny, aby prokázaly, že ať už do nich připojíte kterákoli čísla, vždy budou platit. Tyto vlastnosti si můžete představit jako „pravidla algebry“, která vám mohou pomoci vyřešit matematické úlohy.
Asociativní a komutativní vlastnosti
Asociativní a komutativní vlastnosti oba mají vzorce pro sčítání a násobení. Thekomutativní vlastnost sčítáníříká, že pokud přidáte dvě čísla, nezáleží na tom, v jakém pořadí je zadáte. Například 4 + 5 je stejné jako 5 + 4. Vzorec je:
a + b = b + a
Jakákoli čísla, ke kterým připojíteAabbude vlastnost stále pravdivá.
Thekomutativní vlastnost násobenívzorec čte
a × b = b × a
To znamená, že při vynásobení dvou čísel nezáleží na tom, jaké číslo napíšete jako první. Stále získáte 10, pokud vynásobíte 2 × 5 nebo 5 × 2.
Theasociativní vlastnost sčítáníříká, že pokud seskupíte dvě čísla a přidáte je a pak přidáte třetí číslo, nezáleží na tom, jaké seskupení používáte. Ve formě vzorce to vypadá
(a + b) + c = a + (b + c)
Například
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ text {then} 2 + (3 + 4) = 9
Podobně, pokud vynásobíte dvě čísla a poté tento produkt vynásobíte třetím číslem, nezáleží na tom, jaká dvě čísla vynásobíte jako první. Ve formě vzorce jeasociativní vlastnost násobenívypadá jako
(a × b) c = a (b × c)
Například (2 × 3) 4 se zjednoduší na 6 × 4, což se rovná 24. Pokud seskupíte 2 (3 × 4), budete mít 2 × 12, což vám také dá 24.
Matematické vlastnosti: tranzitivní a distribuční
Thepřechodná vlastnostříká, že pokudA = bab = C, pakA = C. Tato vlastnost se často používá při algebraické substituci. Například,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {a} y = 3x + 4 \ text {, potom} 4x - 2 = 3x + 4
Pokud víte, že tyto dvě hodnoty jsou si navzájem rovné, můžete vyřešitX. Jakmile víteX, můžete vyřešit proyPokud je potřeba.
Thedistribuční vlastnictvíumožňuje vám zbavit se závorek, pokud je mimo ně výraz, například 2 (X− 4). Závorky v matematice označují násobení a distribuovat něco znamená, že to rozdáte. Chcete-li tedy použít distribuční vlastnost k odstranění závorek, vynásobte termín mimo ně znakemkaždýtermín uvnitř nich. Vynásobíte tedy 2 aXzískat 2X, a vynásobíte 2 a −4, abyste dostali −8. Zjednodušeně to vypadá takto:
2 (x - 4) = 2x - 8
Vzorec pro distribuční vlastnictví je
a (b + c) = ab + ac
Distribuční vlastnost můžete také použít k vytažení společného faktoru z výrazu. Tento vzorec je
ab + ac = a (b + c)
Například ve výrazu 3X+ 9, oba termíny jsou dělitelné 3. Vytáhněte faktor vně závorek a zbytek nechte uvnitř: 3 (X + 3).
Vlastnosti algebry pro záporná čísla
Theaditivní inverzní vlastnostříká, že pokud přidáte jedno číslo s jeho inverzní nebo negativní verzí, dostanete nulu. Například −5 + 5 = 0. V příkladu ze skutečného světa, pokud někomu dlužíte 5 $ a poté dostanete 5 $, stále nebudete mít žádné peníze, protože musíte zaplatit 5 $, abyste dluh zaplatili. Vzorec je
a + (−a) = 0 = (−a) + a
Themultiplikativní inverzní vlastnostříká, že pokud vynásobíte číslo zlomkem s číslem v čitateli a tímto číslem ve jmenovateli, dostanete jedno:
a × \ frac {1} {a} = 1
Pokud vynásobíte 2 1/2, dostanete 2/2. Jakékoli číslo nad sebou je vždy 1.
Vlastnosti negacediktovat násobení záporných čísel. Pokud vynásobíte záporné a kladné číslo, vaše odpověď bude záporná:
(-a) (b) = -ab \ text {a} - (ab) = -ab
Pokud vynásobíte dvě záporná čísla, bude vaše odpověď kladná:
- (- a) = a \ text {a} (-a) (- b) = ab
Pokud máte záporek mimo závorky, je tento zápor spojen s neviditelnou 1. To -1 je distribuováno ke každému členu uvnitř závorky. Vzorec je
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Například
- (x - 3) = -x + 3
protože vynásobením −1 a −3 získáte 3.
Vlastnosti nuly
Theidentita sčítáníuvádí, že pokud přidáte jakékoli číslo a nulu, získáte původní číslo:
a + 0 = a
Například,
4 + 0 = 4
Themultiplikativní vlastnost nulauvádí, že když vynásobíte libovolné číslo nulou, vždy dostanete nulu:
a × 0 = 0
Například
4 × 0 = 0
Za použitínulová vlastnost produktu,Určitě víte, že pokud je součin dvou čísel nula, pak jeden z násobků je nula. Vzorec uvádí, že
\ text {if} ab = 0 \ text {, then} a = 0 \ text {nebo} b = 0
Vlastnosti rovnosti
Vlastnosti rovnosti uvádějí, že to, co děláte na jedné straně rovnice, musíte udělat na druhé. Thepřídavná vlastnost rovnostiuvádí, že pokud máte číslo na jedné straně, musíte jej přidat na druhou stranu. Například,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ text {, potom} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
Thevlastnost odčítání rovnostiuvádí, že pokud odečtete číslo z jedné strany, musíte ji odečíst od druhé. Například,
\ text {if} x + 2 = 2x - 3 \ text {, potom} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
To by vám dalo
x + 1 = 2x - 4
aXby se rovnal 5 v obou rovnicích.
Themultiplikační vlastnost rovnostiuvádí, že pokud vynásobíte číslo na jednu stranu, musíte ho vynásobit druhou. Tato vlastnost umožňuje řešit dělící rovnice. Například pokud
\ frac {x} {4} = 2
vynásobte obě strany číslem 4 a získáteX = 8.
Thedělící vlastnost rovnostiumožňuje řešit multiplikační rovnice, protože to, co rozdělujete na jedné straně, musíte dělit na druhé straně. Například rozdělit
2x = 8
o 2 na obou stranách, poddajný
x = 4