Jak řešit systémy rovnic pomocí grafů

Systémy rovnic mohou pomoci vyřešit skutečné otázky ve všech druzích oborů, od chemie přes obchod až po sport. Jejich řešení není důležité jen pro vaše matematické známky; může vám ušetřit spoustu času, ať už se snažíte stanovit cíle pro své podnikání nebo sportovní tým.

TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)

Chcete-li vyřešit systém rovnic pomocí grafů, nakreslete každý řádek na stejné souřadnicové rovině a uvidíte, kde se protínají.

Představte si například, že vy a váš přítel připravujete limonádový stánek. Rozhodli jste se rozdělit a dobýt, takže váš přítel jde na sousední basketbalové hřiště, zatímco vy zůstanete na rohu vaší rodiny. Na konci dne spojíte své peníze. Společně jste vydělali 200 $, ale váš přítel vydělal o 50 $ více než vy. Kolik peněz vydělal každý z vás?

Nebo přemýšlejte o basketbalu: Střely provedené mimo tříbodovou čáru mají hodnotu 3 body, koše vyrobené uvnitř tříbodové čáry mají hodnotu 2 body a trestné hody mají hodnotu pouze 1 bod. Váš soupeř je před vámi 19 bodů. Jaké kombinace košů byste mohli udělat, abyste dohnali?

Grafy jsou jedním z nejjednodušších způsobů řešení soustav rovnic. Jediné, co musíte udělat, je nakreslit obě čáry ve stejné souřadnicové rovině a poté zjistit, kde se protínají.

Nejprve musíte napsat slovní úlohu jako soustavu rovnic. Přiřaďte proměnné neznámým. Zavolejte peníze, které vyděláteYa peníze, které vydělá váš přítelF​.

Nyní máte dva druhy informací: informace o tom, kolik peněz jste společně vydělali, a informace o tom, jak jste vydělali peníze ve srovnání s penězi, které vydělal váš přítel. Každý z nich se stane rovnicí.

Pro první rovnici napište:

protože vaše peníze plus peníze vašeho přítele činí až 200 $.

Dále napište rovnici popisující srovnání vašich příjmů.

protože částka, kterou jste vydělali, se rovná o 50 dolarů méně, než kolik vydělal váš přítel. Tuto rovnici můžete také napsat jakoY​ + 50 = ​F, protože to, co jste vydělali, plus 50 dolarů se rovná tomu, co vydělal váš přítel. Jedná se o různé způsoby psaní stejné věci a nezmění vaši konečnou odpověď.

Takže soustava rovnic vypadá takto:

Dále musíte nakreslit obě rovnice ve stejné souřadnicové rovině. Graf své částky,Y, nay- osa a částka vašeho přítele,F, naX-osi (ve skutečnosti nezáleží na tom, která je která, pokud je správně označíte). Můžete použít milimetrový papír a tužku, ruční grafickou kalkulačku nebo online grafickou kalkulačku.

Právě teď je jedna rovnice ve standardním tvaru a jedna ve formě interceptu. To nutně není problém, ale kvůli konzistenci dostaňte obě rovnice do podoby sklonu-zachycení.

Takže pro první rovnici převeďte ze standardní formy na formu pro zachycení sklonu. To znamená vyřešit proY; jinými slovy, získejteYsám na levé straně znaménka rovnosti. Takže odečtěteFz obou stran:

Pamatujte, že ve formě průsečíku sklonu je číslo před F sklon a konstanta je průnik y.

Chcete-li grafovat první rovnici,Y​ = −​F+ 200, nakreslete bod na (0, 200) a poté pomocí sklonu najděte více bodů. Sklon je -1, takže jděte dolů o jednu jednotku a přes jednu jednotku a nakreslete bod. Tím se vytvoří bod v (1, 199), a pokud zopakujete postup začínající tímto bodem, získáte další bod v (2, 198). Jedná se o drobné pohyby na velké čáře, takže nakreslete ještě jeden bod naX-intercept, abyste se ujistili, že máte věci pěkně graficky z dlouhodobého hlediska. LiY= 0, tedyFbude 200, takže nakreslete bod na (200, 0).

Chcete-li grafovat druhou rovnici,Y​ = ​F- 50, použijte průsečík y -50 k nakreslení prvního bodu v (0, -50). Protože sklon je 1, začněte na (0, −50) a poté přejděte o jednu jednotku nahoru a nad jednu jednotku. Tím se dostanete na (1, −49). Opakujte postup počínaje od (1, −49) a získáte třetí bod v (2, −48). Opět platí, že abyste se ujistili, že děláte věci úhledně na velké vzdálenosti, zkontrolujte se tím, že také nakreslíteX-intercept. KdyžY​ = 0, ​Fbude 50, takže také nakreslete bod na (50, 0). Nakreslete úhlednou čáru spojující tyto body.

Pečlivě se podívejte na svůj graf, abyste zjistili, kde se tyto dvě čáry protínají. Toto bude řešení, protože řešením soustavy rovnic je bod (nebo body), které obě rovnice splňují. V grafu to bude vypadat jako bod (nebo body), kde se tyto dvě čáry protínají.

V tomto případě se tyto dvě čáry protínají v (125, 75). Řešením tedy je, že váš přítel (X-coordinate) vydělal 125 $ a vy (y-coordinate) vydělal 75 $.

Rychlá logická kontrola: Má to smysl? Společně se tyto dvě hodnoty zvyšují na 200 a 125 je o 50 více než 75. To zní dobře.

V tomto případě byl přesně jeden bod, kde se dvě čáry protínaly. Když pracujete se systémy rovnic, existují tři možné výsledky a každý bude v grafu vypadat jinak.

• Pokud má systém jedno řešení, čáry se protnou v jednom bodě, jako tomu bylo v příkladu.
• Pokud systém nemá žádná řešení, čáry se nikdy nepřekročí. Budou rovnoběžné, což algebraicky znamená, že budou mít stejný sklon.
• Systém může mít také nekonečná řešení, což znamená, že vaše „dvě“ linky jsou ve skutečnosti stejné linky. Budou tedy mít každý společný bod společný, což je nekonečné množství řešení.