V geometrické posloupnosti se každý člen rovná předchozímu členu a konstantní nenulový multiplikátor nazývaný společný faktor. Geometrické posloupnosti mohou mít pevný počet termínů nebo mohou být nekonečné. V obou případech se termíny geometrické sekvence mohou rychle stát velmi velkými, velmi negativními nebo velmi blízkými nule. Ve srovnání s aritmetickými sekvencemi se termíny mění mnohem rychleji, ale při nekonečné aritmetice sekvence se neustále zvyšují nebo snižují, geometrické sekvence se mohou přiblížit nule, v závislosti na společném faktor.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Geometrická posloupnost je uspořádaný seznam čísel, ve kterých je každý člen součinem předchozího členu a pevný nenulový multiplikátor nazývaný společný faktor. Každý člen geometrické posloupnosti je geometrický průměr výrazů předcházejících a následujících za ním. Nekonečné geometrické sekvence se společným faktorem mezi +1 a -1 se blíží limitu nuly jako členy jsou přidány, zatímco sekvence se společným faktorem větším než +1 nebo menším než -1 přejdou na plus nebo minus nekonečno.
Jak fungují geometrické sekvence
Geometrická posloupnost je definována počátečním číslemA, společný faktorra počet termínůS. Odpovídající obecná forma geometrické posloupnosti je:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Obecný vzorec pro výrazngeometrické sekvence (tj. libovolného výrazu v této sekvenci) je:
a_n = ar ^ {n-1}
Rekurzivní vzorec, který definuje termín s ohledem na předchozí termín, je:
a_n = ra_ {n-1}
Příklad geometrické posloupnosti se startovním číslem 3, společným činitelem 2 a osmi členy je 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Při výpočtu posledního termínu pomocí obecného formuláře uvedeného výše je tento termín:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Pomocí obecného vzorce pro výraz 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Pokud chcete použít rekurzivní vzorec pro termín 5, pak termín 4 = 24, a5 se rovná:
a_5 = 2 × 24 = 48
Vlastnosti geometrické posloupnosti
Geometrické posloupnosti mají speciální vlastnosti, pokud jde o geometrický průměr. Geometrický průměr dvou čísel je druhá odmocnina jejich součinu. Například geometrický průměr 5 a 20 je 10, protože součin 5 × 20 = 100 a druhá odmocnina 100 je 10.
V geometrických sekvencích je každý člen geometrickým průměrem termínu před ním a termínu za ním. Například v pořadí 3, 6, 12... výše, 6 je geometrický průměr 3 a 12, 12 je geometrický průměr 6 a 24 a 24 je geometrický průměr 12 a 48.
Další vlastnosti geometrických posloupností závisí na společném faktoru. Pokud je společný faktorrje větší než 1, nekonečné geometrické sekvence se přiblíží pozitivnímu nekonečnu. Lirje mezi 0 a 1, sekvence se přiblíží nule. Lirje mezi nulou a -1, sekvence se přiblíží k nule, ale termíny se budou střídat mezi kladnými a zápornými hodnotami. Lirje menší než −1, termíny budou mít tendenci k pozitivnímu i negativnímu nekonečnu, protože se budou střídat mezi pozitivními a negativními hodnotami.
Geometrické posloupnosti a jejich vlastnosti jsou užitečné zejména ve vědeckých a matematických modelech procesů v reálném světě. Použití specifických sekvencí může pomoci při studiu populací, které rostou pevnou rychlostí v daných časových obdobích, nebo investic, které vydělávají úroky. Obecné a rekurzivní vzorce umožňují v budoucnu předpovědět přesné hodnoty na základě výchozího bodu a společného faktoru.