Kořeny polynomu se také nazývají jeho nuly, protože kořeny jsouXhodnoty, při kterých se funkce rovná nule. Pokud jde o skutečné nalezení kořenů, máte k dispozici několik technik; factoring je metoda, kterou používáte nejčastěji, i když grafy mohou být také užitečné.
Kolik kořenů?
Prozkoumejte termín nejvyššího stupně polynomu - tedy termín s nejvyšším exponentem. Tím exponentem je, kolik kořenů bude mít polynom. Pokud je tedy nejvyšší exponent ve vašem polynomu 2, bude mít dva kořeny; pokud je nejvyšší exponent 3, bude mít tři kořeny; a tak dále.
Varování
-
Má to jeden háček: Kořeny polynomu mohou být skutečné nebo imaginární. „Skutečné“ kořeny jsou členy množiny známé jako reálná čísla, což je v tomto okamžiku vaší matematické kariéry každé číslo, se kterým jste zvyklí jednat. Zvládnutí imaginárních čísel je úplně jiné téma, takže si zatím zapamatujte tři věci:
- „Imaginární“ kořeny se objeví, když máte druhou odmocninu záporného čísla. Například √ (-9).
- Imaginární kořeny přicházejí vždy ve dvojicích.
- Kořeny polynomu mohou být skutečné nebo imaginární. Takže pokud máte polynom 5. stupně, může mít pět skutečných kořenů, může mít tři skutečné kořeny a dva imaginární kořeny atd.
Najít kořeny podle faktoringu: Příklad 1
Nejvšestrannějším způsobem, jak najít kořeny, je co nejvíce rozčlenit váš polynom a poté nastavit každý člen na nulu. To vám dává mnohem větší smysl, až budete následovat několik příkladů. Zvažte jednoduchý polynomX2 – 4X:
Krátké vyšetření ukazuje, že můžete počítatXz obou podmínek polynomu, který vám dává:
x (x - 4)
Nastavte každý termín na nulu. To znamená řešení pro dvě rovnice:
x = 0
je první člen nastavený na nulu a
x - 4 = 0
je druhý člen nastavený na nulu.
Řešení prvního funkčního období již máte. LiX= 0, pak se celý výraz rovná nule. TakX= 0 je jeden z kořenů nebo nul polynomu.
Nyní zvažte druhý termín a vyřešteX. Pokud přidáte 4 na obě strany, budete mít:
x - 4 + 4 = 0 + 4
což zjednodušuje:
x = 4
Takže kdyžX= 4, pak se druhý faktor rovná nule, což znamená, že celý polynom se také rovná nule.
Protože původní polynom byl druhého stupně (nejvyšší exponent byly dva), víte, že pro tento polynom existují pouze dva možné kořeny. Oba jste již našli, takže je musíte pouze vypsat:
x = 0, x = 4
Najděte kořeny podle faktoringu: Příklad 2
Tady je další příklad toho, jak najít kořeny pomocí factoringu a při tom použít nějakou fantazijní algebru. Zvažte polynomX4 – 16. Rychlý pohled na jeho exponenty vám ukáže, že pro tento polynom by měly existovat čtyři kořeny; nyní je čas je najít.
Všimli jste si, že tento polynom lze přepsat jako rozdíl čtverců? Takže místo tohoX4 - 16, máte:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Což pomocí vzorce pro rozdíl čtverců vychází z následujícího:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
První člen je opět rozdíl čtverců. I když už nemůžete členit výraz vpravo, můžete členit výraz nalevo o jeden krok více:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Nyní je čas najít nuly. Rychle je jasné, že pokudX= 2, první faktor bude roven nule, a tedy celý výraz bude roven nule.
Podobně, pokudX= −2, druhý faktor se bude rovnat nule a tedy i celý výraz.
TakX= 2 aX= -2 jsou obě nuly nebo kořeny tohoto polynomu.
Ale co ten poslední termín? Protože má exponent „2“, měl by mít dva kořeny. Tento výraz ale nemůžete faktorovat pomocí reálných čísel, na která jste zvyklí. Budete muset použít velmi pokročilý matematický koncept zvaný imaginární čísla nebo, chcete-li, složitá čísla. To je daleko za rámec vaší současné matematické praxe, takže zatím stačí poznamenat, že máte dva skutečné kořeny (2 a −2) a dva imaginární kořeny, které necháte nedefinované.
Najděte kořeny pomocí grafů
Kořeny můžete také najít nebo alespoň odhadnout pomocí grafů. Každý kořen představuje místo, kde graf funkce protínáXosa. Takže pokud nakreslíte čáru a poté si všimneteXsouřadnice, kde čára protínáXosy, můžete vložit odhadXhodnoty těchto bodů do své rovnice a zkontrolujte, zda jste je dostali správně.
Zvažte první příklad, který jste pro polynom pracovaliX2 – 4X. Pokud to opatrně nakreslíte, uvidíte, že čára prochází přesXosa vX= 0 aX= 4. Pokud zadáte každou z těchto hodnot do původní rovnice, získáte:
0^2 - 4(0) = 0
takX= 0 byla platná nula nebo kořen pro tento polynom.
4^2 - 4(4) = 0
takX= 4 je také platná nula nebo kořen pro tento polynom. A protože polynom byl 2. stupně, víte, že se můžete přestat dívat po nalezení dvou kořenů.