Konceptvlastní číslaje nejasný, ale velmi se hodí matematikům a fyzikálním vědcům, kteří čelí některým zajímavým problémům.
Chcete-li pochopit vlastní číslo, představte si funkci (např.y = X2 + 6Xneboy= log 4X), který byste mohli provést nějakým procesem, takže výsledek by byl stejný jako vynásobení celé funkce konstantní hodnotou. Taková funkce by se kvalifikovala jakovlastní funkcea konstanta by byla vlastní hodnotou.
- „Eigen“ je německý výraz pro „same“.
Abyste nejlépe porozuměli vlastním číslům a vlastním funkcím a mohli sami vypočítat vlastní čísla, potřebujete základní znalost matic. Tyto matematické triky se používají k určení, řekněme, pořadí vazby NO2 (oxid dusičitý) a další molekuly, protože chování elektronů v atomech je určováno vlnovými funkcemi, které se kvalifikují jako vlastní funkce.
Co je to matice?
Matice je pole čísel seřazených v řádcích a sloupcích, které mohou mít číslo od 1 don. Rozměry matic jsou uvedeny jako řádek po sloupci; například následující je matice 2 ku 3:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matice lze sčítat, pokud mají stejnou velikost (tj. Mají stejný počet řádků a stejný počet sloupců). Mohou být také násobeny společně postupným procesem za stejných podmínek. Libovolnou matici lze navíc vynásobit vektorem, který je 1 zannebon-by-1 matice; to zahrnuje další vektory.
Co je rovnice vlastních čísel?
Řekněme, že máten-podle-nnebo "čtvercová" maticeA, nenulován-by-1 vektorprotia skalárníλ, takže je splněna následující rovnice:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Libovolná hodnotaλpro které má tato rovnice řešení, je známé jako vlastní číslo maticeA.
Nenechte svou mysl považovat výše uvedené výrazy za produkt.Ajeoperátorna nebo lineární transformaci vektoruproti, tento výpočet je možný jen proto, žeAaprotioba majínřádky.
Proč používat funkce vlastních čísel?
Derivace je komplikovaná, ale v atomové chemii se k vyjádření kinetické a potenciální energie systému používá hamiltonovský operátor „H-bar“:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
To se používá k napsání formulářeSchrodingerova vlnová rovnicev kvantové mechanice:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
TadyEpředstavuje vlastní čísla splňující tuto rovnici.
Způsoby, jak najít vlastní hodnoty matice
Z rovnice Av = λv dostaneteA proti − λproti=0. Tohle vede k:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
KdeJáje matice identity 2 ku 2 s řádky [λ0] a [0λ], což vede k 1, když se vynásobí skaláremλ. Tento výsledek poskytuje:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Což kdybyprotije nenulová, má řešení, pouze pokud je absolutní hodnotaA− λJá, nebo |A − λJá|, je nula. Pokud to uděláte ručně, vyžaduje to řešení kvadratické rovnice a může to být zdlouhavé.
Chcete-li znásobit dvě matice dohromady, pro každý bod v matici produktu vynásobíte odpovídající body dohromady a přidejte to k produktům zbývajících prvků řádku a sloupce v řádku a sloupci, ke kterému nový bod patří.
Při vynásobení dvou matic 2 na 2AaBspolečně, pokud je první řadaAje [1 3] a první sloupec zBje [2 5], číslo v prvním sloupci a řádku nové matice bude [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 a odpovídajícím způsobem pro další tři body.
Výpočet vlastních čísel online
Ve zdrojích najdete nástroj pro výpočet matice, který vám umožní najít vlastní hodnoty a další pro matici téměř jakékoli myslitelné velikosti.