Taylorova řada je numerická metoda reprezentace dané funkce. Tato metoda má uplatnění v mnoha technických oborech. V některých případech, jako je přenos tepla, vede diferenciální analýza k rovnici, která odpovídá tvaru Taylorovy řady. Taylorova řada může také představovat integrál, pokud integrál této funkce neexistuje analyticky. Tyto reprezentace nejsou přesné hodnoty, ale výpočet více termínů v řadě zpřesní aproximaci.
Vyberte střed pro sérii Taylor. Toto číslo je libovolné, ale je dobré zvolit střed, kde je ve funkci symetrie nebo kde hodnota pro střed zjednodušuje matematiku úlohy. Pokud počítáte Taylorovu řadu reprezentace f (x) = sin (x), je vhodným středem a = 0.
Určete počet výrazů, které chcete vypočítat. Čím více výrazů použijete, tím přesnější bude vaše zastoupení, ale protože Taylorova řada je nekonečná řada, není možné zahrnout všechny možné výrazy. Příklad sin (x) bude používat šest výrazů.
Vypočítejte deriváty, které pro sérii budete potřebovat. V tomto příkladu musíte vypočítat všechny deriváty až po šestou derivaci. Protože Taylorova řada začíná na „n = 0“, musíte zahrnout „0“ derivaci, což je pouze původní funkce. 0. derivace = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Vypočítejte hodnotu pro každou derivaci ve středu, který jste si vybrali. Tyto hodnoty budou čitateli pro prvních šest termínů Taylorovy řady. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Pomocí výpočtů derivace a středu určete členy Taylorovy řady. 1. termín; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 druhé období; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. termín; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. termín; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. termín; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. období; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylorova řada pro sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Zrušte nulové členy v řadě a algebraicky zjednodušte výraz, abyste určili zjednodušenou reprezentaci funkce. Bude to zcela odlišná řada, takže dříve použité hodnoty „n“ již nebudou platit. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Protože znaménka se střídají mezi kladnými a zápornými, první složka zjednodušené rovnice musí být (-1) ^ n, protože v řadě nejsou žádná sudá čísla. Termín (-1) ^ n má za následek záporné znaménko, když n je liché, a kladné znaménko, když n je sudé. Sériové zastoupení lichých čísel je (2n + 1). Když n = 0, tento termín se rovná 1; když n = 1, tento termín se rovná 3 a tak dále do nekonečna. V tomto příkladu použijte toto vyjádření pro exponenty x a faktoriály ve jmenovateli
Místo původní funkce použijte reprezentaci funkce. U pokročilejších a obtížnějších rovnic může Taylorova řada učinit neřešitelnou rovnici řešitelnou nebo alespoň poskytnout rozumné numerické řešení.