Triky pro faktorování kvadratických rovnic

Kvadratické rovnice jsou vzorce, které lze zapsat ve tvaru Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Někdy lze kvadratickou rovnici zjednodušit factoringem nebo vyjádřením rovnice jako produktu samostatných výrazů. To může usnadnit řešení rovnice. Faktory mohou být někdy obtížné identifikovat, ale existují triky, které mohou tento proces usnadnit.

Prozkoumejte kvadratickou rovnici a určete, zda existuje číslo a / nebo proměnná, která může rozdělit každý člen rovnice. Zvažte například rovnici 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Největší počet, který lze rovnoměrně rozdělit na každý člen rovnice, je 2, takže 2 je největší společný faktor (GCF).

Rozdělte každý člen v rovnici GCF a vynásobte celou rovnici GCF. V příkladové rovnici 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 by to mělo za následek 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Zjednodušte výraz vyplněním dělení v každém semestru. V konečné rovnici by neměly být žádné zlomky. V příkladu by to mělo za následek 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Prozkoumejte kvadratickou rovnici a zjistěte, zda je ve tvaru Ax ^ 2 + 0x - C = 0, kde A = y ^ 2 a C = z ^ 2. V tomto případě kvadratická rovnice vyjadřuje rozdíl dvou čtverců. Například v rovnici 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 a C = 9 = 3 ^ 2, takže y = 2 a z = 3.

Faktor rovnici do tvaru (yx + z) (yx - z) = 0. V příkladové rovnici y = 2 a z = 3; proto je započítaná kvadratická rovnice (2x + 3) (2x - 3) = 0. Toto bude vždy faktorizovaná forma kvadratické rovnice, která je rozdílem čtverců.

Prozkoumejte kvadratickou rovnici a zjistěte, zda se jedná o dokonalý čtverec. Pokud je kvadratická rovnice dokonalým čtvercem, lze ji zapsat ve tvaru y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, například rovnici 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, kterou lze přepsat na (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. V tomto případě y = 2x a z = 3.

Zkontrolujte, zda je termín 2yz kladný. Pokud je člen kladný, jsou faktory dokonalé kvadratické rovnice čtverce vždy (y + z) (y + z). Například ve výše uvedené rovnici je 12x kladné, proto jsou faktory (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Zkontrolujte, zda je výraz 2yz záporný. Pokud je termín záporný, faktory jsou vždy (y - z) (y - z). Například pokud by výše uvedená rovnice měla termín -12x místo 12x, faktory by byly (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Nastavit faktorizovaný tvar kvadratické rovnice zápisem (vx + w) (yx + z) = 0. Připomeňte si pravidla pro násobení FOIL (první, vnější, vnitřní, poslední). Protože prvním členem kvadratické rovnice je Ax ^ 2, musí oba faktory rovnice obsahovat x.

Vyřešte pro v a y zvážením všech faktorů A v kvadratické rovnici. Pokud A = 1, pak v i y budou vždy 1. V příkladu rovnice x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, takže v a y lze vyřešit ve faktorované rovnici, abychom dostali (1x + w) (1x + z) = 0.

Určete, zda jsou w a z pozitivní nebo negativní. Platí následující pravidla: C = pozitivní a B = pozitivní; oba faktory mají znaménko + C = pozitivní a B = negativní; oba faktory mají - znaménko C = negativní a B = pozitivní; faktor s největší hodnotou má znaménko + C = záporné a B = záporné; faktor s největší hodnotou má znaménko - V příkladové rovnici z kroku 2, B = -9 a C = +8, takže oba faktory rovnice budou mít - znaménka a faktorovanou rovnici lze zapsat jako (1x - w) (1x - z) = 0.

Vytvořte seznam všech faktorů C, abyste našli hodnoty pro w a z. Ve výše uvedeném příkladu C = 8, takže faktory jsou 1 a 8, 2 a 4, -1 a -8 a -2 a -4. Faktory musí sečíst až B, což je v příkladové rovnici -9, takže w = -1 a z = -8 (nebo naopak) a naše rovnice je plně započítána jako (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Snižte rovnici na nejjednodušší formu pomocí metody Greatest Common Factor uvedené výše. Například v rovnici 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 je GCF 9, takže rovnice se zjednoduší na 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Nakreslete krabici a rozdělte ji do tabulky se dvěma řádky a dvěma sloupci. Vložte Ax ^ 2 zjednodušené rovnice do řádku 1, sloupce 1 a C zjednodušené rovnice do řádku 2, sloupce 2.

Vynásobte A číslem C a najděte všechny faktory produktu. Ve výše uvedeném příkladu A = 1 a C = -10, takže produkt je (1) (- 10) = -10. Faktory -10 jsou -1 a 10, -2 a 5, 1 a -10 a 2 a -5.

Určete, které z faktorů produktu AC sečtou k B. V příkladu B = 3. Faktory -10, které sečtou až 3, jsou -2 a 5.

Vynásobte každý z identifikovaných faktorů x. Ve výše uvedeném příkladu by to mělo za následek -2x a 5x. Vložte tyto dva nové výrazy do dvou prázdných mezer v grafu, aby tabulka vypadala takto:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Najděte GCF pro každý řádek a sloupec pole. V příkladu je CGF pro horní řádek x a pro spodní řádek je -2. GCF pro první sloupec je x a pro druhý sloupec je 5.

Napište faktorovanou rovnici ve tvaru (w + v) (y + z) pomocí faktorů identifikovaných z řádků grafu pro w a v a faktorů identifikovaných ze sloupců grafu pro y a z. Pokud byla rovnice zjednodušena v kroku 1, nezapomeňte zahrnout GCF rovnice do faktorizovaného výrazu. V případě příkladu bude faktorovaná rovnice 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Než začnete s popsanou metodou, ujistěte se, že je rovnice ve standardní kvadratické formě.

Není vždy snadné určit dokonalý čtverec nebo rozdíl čtverců. Pokud rychle zjistíte, že kvadratická rovnice, kterou se snažíte zohlednit, je v jedné z těchto forem, může to být velká pomoc. Neztrácejte však spoustu času pokusům o to, protože ostatní metody mohou být rychlejší.

Svou práci vždy zkontrolujte vynásobením faktorů metodou FOIL. Faktory by se měly vždy množit zpět k původní kvadratické rovnici.