Řešení nerovností absolutní hodnoty je hodně jako řešení rovnic absolutní hodnoty, ale je třeba mít na paměti několik dalších podrobností. Pomůže vám to už být při řešení rovnic absolutní hodnoty pohodlní, ale je v pořádku, pokud se je učíte také společně!
Definice nerovnosti absolutní hodnoty
Za prvé, annerovnost absolutní hodnotyje nerovnost, která zahrnuje výraz absolutní hodnoty. Například,
| 5 + x | - 10> 6
je nerovnost absolutní hodnoty, protože má znak nerovnosti,> a výraz absolutní hodnoty, | 5 +X |.
Jak řešit nerovnost absolutní hodnoty
Thekroky k řešení nerovnosti absolutní hodnotyjsou podobně jako kroky k řešení rovnice absolutní hodnoty:
Krok 1:Izolujte výraz absolutní hodnoty na jedné straně nerovnosti.
Krok 2:Vyřešte pozitivní „verzi“ nerovnosti.
Krok 3:Vyřešte negativní „verzi“ nerovnosti vynásobením množství na druhé straně nerovnosti −1 a převrácením znaménka nerovnosti.
To je spousta najednou, takže zde je příklad, který vás provede kroky.
Vyřešit nerovnost proX:
| 5 + 5x | - 3> 2
Chcete-li to provést, získejte | 5 + 5X| sama na levé straně nerovnosti. Jediné, co musíte udělat, je přidat 3 na každou stranu:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nyní musíme vyřešit dvě „verze“ nerovnosti: pozitivní „verzi“ a negativní „verzi“.
V tomto kroku předpokládáme, že věci jsou tak, jak vypadají: 5 + 5X > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Toto je jednoduchá nerovnost; prostě musíte vyřešitXjako obvykle. Odečtěte 5 od obou stran, poté obě strany vydělte 5.
\ begin {aligned} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(odečíst pět z obou stran)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(rozdělit obě strany pěti)} \\ & x> 0 \ end {zarovnáno}
Není špatné! Jedním z možných řešení naší nerovnosti je toX> 0. Nyní, protože se jedná o absolutní hodnoty, je čas zvážit jinou možnost.
Abychom pochopili tento další bit, pomůže si zapamatovat, co znamená absolutní hodnota.Absolutní hodnotaměří vzdálenost čísla od nuly. Vzdálenost je vždy kladná, takže 9 je devět jednotek od nuly, ale −9 je také devět jednotek od nuly.
Takže | 9 | = 9, ale | −9 | = 9 také.
Nyní zpět k výše uvedenému problému. Výše uvedená práce ukázala, že | 5 + 5X| > 5; jinými slovy, absolutní hodnota „něčeho“ je větší než pět. Nyní bude jakékoli kladné číslo větší než pět dále od nuly, než je pět. První možností tedy bylo, že „něco“ 5 + 5X, je větší než 5.
To je:
5 + 5x> 5
To je scénář řešený výše, v kroku 2.
Nyní přemýšlejte trochu dále. Co jiného je pět jednotek od nuly? Záporná pětka je. A cokoli dále podél číselné řady od záporné pětky bude ještě dále od nuly. Naše „něco“ tedy může být záporné číslo, které je dále od nuly než záporná pětka. To znamená, že by to bylo znějící číslo, ale technickyméně nežzáporná pětka, protože se pohybuje v záporném směru na číselné řadě.
Takže naše „něco“ 5 + 5x může být menší než −5.
5 + 5x
Rychlý způsob, jak to udělat algebraicky, je vynásobit množství na druhé straně nerovnosti, 5, zápornou hodnotou a poté převrátit znak nerovnosti:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Pak vyřešte jako obvykle.
\ begin {zarovnáno} & 5 + 5x
Dvě možná řešení nerovnosti tedy jsouX> 0 neboX< −2. Zkontrolujte se připojením několika možných řešení a ujistěte se, že nerovnost stále platí.
Nerovnosti absolutní hodnoty bez řešení
Existuje scénář, kde by bylžádná řešení nerovnosti absolutní hodnoty. Protože absolutní hodnoty jsou vždy kladné, nemohou být stejné nebo menší než záporná čísla.
Takže |X| žádné řešeníprotože výsledek výrazu absolutní hodnoty musí být pozitivní.
Intervalová notace
Chcete-li napsat řešení našeho hlavního příkladu vintervalová notace, přemýšlejte o tom, jak řešení vypadá na číselné řadě. Naše řešení byloX> 0 neboX< −2. Na číselné řadě je to otevřená tečka na 0, s přímkou vyčnívající do kladného nekonečna, a otevřená tečka na -2, s přímkou vyčnívající do záporného nekonečna. Tato řešení směřují od sebe, nikoli k sobě, proto berte každý kousek zvlášť.
Pro x> 0 na číselné řadě je otevřená tečka na nule a poté čára rozšiřující se do nekonečna. V intervalovém zápisu je otevřená tečka znázorněna závorkami () a uzavřená tečka nebo nerovnice s ≥ nebo ≤ by používaly závorky, []. Tak proX> 0, write (0, ∞).
Druhá půlka,X
„Nebo“ v intervalové notaci je znak unie, ∪.
Takže řešení v intervalové notaci je
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)