V matematice někdy vyvstává potřeba dokázat, zda jsou funkce v lineárním smyslu na sobě navzájem závislé nebo nezávislé. Pokud máte dvě funkce, které jsou lineárně závislé, výsledkem grafu rovnic těchto funkcí budou body, které se překrývají. Funkce s nezávislými rovnicemi se při grafu nepřekrývají. Jednou z metod určování, zda jsou funkce závislé nebo nezávislé, je výpočet Wronskian pro funkce.
Co je to Wronskian?
Wronskian dvou nebo více funkcí je to, co je známé jako determinant, což je speciální funkce používaná k porovnání matematických objektů a prokázání určitých faktů o nich. V případě Wronskian se determinant používá k prokázání závislosti nebo nezávislosti mezi dvěma nebo více lineárními funkcemi.
Wronskianova matice
Chcete-li vypočítat Wronskian pro lineární funkce, je třeba funkce vyřešit pro stejnou hodnotu v matici, která obsahuje funkce i jejich deriváty. Příkladem toho je
W (f, g) (t) = \ begin {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
který poskytuje Wronskianovi dvě funkce (
FaG), které jsou řešeny pro jednu hodnotu, která je větší než nula (t); můžete vidět dvě funkceF(t) aG(t) v horním řádku matice a derivátyF'(t) aG'(t) ve spodním řádku. Pamatujte, že Wronskian lze použít i pro větší sady. Pokud například otestujete tři funkce pomocí Wronskiana, můžete naplnit matici funkcemi a derivátyF(t), G(t) ah(t).Řešení Wronskian
Jakmile máte funkce uspořádané v matici, vynásobte každou funkci proti derivaci druhé funkce a odečtěte první hodnotu od druhé. U výše uvedeného příkladu vám to dává
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Pokud se konečná odpověď rovná nule, ukazuje to, že tyto dvě funkce jsou závislé. Pokud je odpověď něco jiného než nula, funkce jsou nezávislé.
Wronskianův příklad
Pro lepší představu o tom, jak to funguje, předpokládejme to
f (t) = x + 3 \ text {and} g (t) = x - 2
Pomocí hodnotyt= 1, můžete vyřešit funkce jako
f (1) = 4 \ text {and} g (1) = -1
Jelikož se jedná o základní lineární funkce se sklonem 1, derivace obouF(t) aG(t) rovná se 1. Znásobení vašich hodnot dává
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
což poskytuje konečný výsledek 5. I když mají lineární funkce stejný sklon, jsou nezávislé, protože se jejich body nepřekrývají. LiF(t) vyprodukoval výsledek -1 namísto 4, Wronskian by místo toho dal výsledek nula, aby označil závislost.