3 Metody řešení soustav rovnic

Tři metody nejčastěji používané k řešení systémů rovnic jsou substituční, eliminační a rozšířené matice. Substituce a eliminace jsou jednoduché metody, které mohou účinně vyřešit většinu systémů dvou rovnic v několika přímých krocích. Metoda rozšířených matic vyžaduje více kroků, ale její aplikace se rozšiřuje na větší škálu systémů.

Substituce je metoda řešení systémů rovnic odstraněním všech proměnných kromě jedné v jedné z rovnic a následným řešením této rovnice. Toho je dosaženo izolací jiné proměnné v rovnici a následným nahrazením hodnot pro tyto proměnné v jiné jiné rovnici. Například k vyřešení soustavy rovnic x + y = 4, 2x - 3y = 3, izolujte proměnnou x v první rovnici dostaneme x = 4 - y, potom dosadíme tuto hodnotu y do druhé rovnice a dostaneme 2 (4 - y) - 3y = 3. Tato rovnice se zjednodušuje na -5y = -5 nebo y = 1. Zapojte tuto hodnotu do druhé rovnice a najděte hodnotu x: x + 1 = 4 nebo x = 3.

Eliminace je dalším způsobem řešení systémů rovnic přepsáním jedné z rovnic na jedinou proměnnou. Metoda eliminace toho dosahuje přidáním nebo odečtením rovnic od sebe, aby zrušila jednu z proměnných. Například přidáním rovnic x + 2y = 3 a 2x - 2y = 3 se získá nová rovnice, 3x = 6 (všimněte si, že výrazy y byly zrušeny). Systém je poté vyřešen pomocí stejných metod jako pro substituci. Pokud není možné zrušit proměnné v rovnicích, bude nutné vynásobit celou rovnici faktorem, aby se koeficienty shodovaly.

Rozšířené matice lze také použít k řešení soustav rovnic. Rozšířená matice se skládá z řádků pro každou rovnici, sloupců pro každou proměnnou a rozšířeného sloupce, který obsahuje konstantní člen na druhé straně rovnice. Například rozšířená matice pro soustavu rovnic 2x + y = 4, 2x - y = 0 je [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].

Další krok zahrnuje použití základních operací s řádky, jako je vynásobení nebo rozdělení řádku konstantou jinou než nula a přidání nebo odečtení řádků. Cílem těchto operací je převést matici do řádkové řady, ve které je první nenulová položka v každém řádku 1, položky nad a pod touto položkou jsou všechny nuly a první nenulová položka pro každý řádek je vždy napravo od všech těchto položek v řádcích nad tím. Formulář řádků pro výše uvedenou matici je [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Hodnota první proměnné je dána prvním řádkem (1x + 0y = 1 nebo x = 1). Hodnota druhé proměnné je dána druhým řádkem (0x + 1y = 2 nebo y = 2).

Substituce a eliminace jsou jednodušší metody řešení rovnic a používají se mnohem častěji než rozšířené matice v základní algebře. Substituční metoda je zvláště užitečná, když je jedna z proměnných již izolována v jedné z rovnic. Metoda eliminace je užitečná, když je koeficient jedné z proměnných stejný (nebo jeho záporný ekvivalent) ve všech rovnicích. Primární výhodou rozšířených matic je, že je lze použít k řešení systémů tří nebo více rovnic v situacích, kdy substituce a eliminace jsou nerealizovatelné nebo nemožné.