Sada reálných čísel se skládá ze všech čísel na číselné řadě. Podmnožiny mohou zahrnovat jakoukoli sbírku čísel, ale prvky důležité podmnožiny by měly mít alespoň několik společných charakteristik. Většina z těchto podmnožin je užitečná pouze pro konkrétní výpočty, ale existuje několik, které mají zajímavé vlastnosti a které pomáhají pochopit, jak systém reálných čísel funguje.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Mezi nejdůležitější podmnožiny množiny reálných čísel patří racionální a iracionální čísla. Sada racionálních čísel může být rozdělena do dalších podmnožin, včetně přirozených čísel, celých čísel a celých čísel. Další podmnožiny reálných čísel jsou sudá a lichá čísla, prvočísla a dokonalá čísla. Celkově existuje nekonečný počet podmnožin reálných čísel.
Podskupiny skutečných čísel obecně
Pro jakoukoli sadu obsahující množství n prvků je počet podmnožin 2n. Sada reálných čísel má nekonečný počet prvků, a proto je odpovídající exponenciál 2 také nekonečný, což dává nekonečný počet podmnožin.
Mnoho z těchto podmnožin lze použít při práci se systémem reálných čísel a při výpočtech, ale jsou užitečné pouze pro konkrétní účely. Například pro výpočet ceny několika pizz pro přátele může být zajímavá pouze podmnožina čísel od deseti do sto. Venkovní teploměr může zobrazovat pouze podmnožinu teplot od minus 40 do plus 120 stupňů Fahrenheita. Práce s podmnožinami, jako jsou tyto, je užitečná, protože jakýkoli výsledek mimo očekávanou podmnožinu je pravděpodobně nesprávný.
Obecnější podmnožiny reálných čísel klasifikují čísla podle jejich charakteristik a tyto podmnožiny mají ve výsledku jedinečné vlastnosti. Systém reálných čísel se vyvinul z podmnožin, jako jsou přirozená čísla, která se používají pro počítání, a takové podmnožiny tvoří základ pro pochopení algebry.
Podmnožiny, které tvoří skutečná čísla
Sada reálných čísel se skládá z racionálních a iracionálních čísel. Racionální čísla jsou celá čísla a čísla, která lze vyjádřit jako zlomek. Všechna ostatní reálná čísla jsou iracionální a zahrnují čísla jako druhá odmocnina 2 a číslo pí. Protože iracionální čísla jsou definována jako podmnožina reálných čísel, všechna iracionální čísla musí být reálná čísla.
Racionální čísla lze rozdělit do dalších podmnožin. Přirozená čísla jsou čísla, která byla historicky použita při počítání, a jsou to posloupnost 1, 2, 3 atd. Celá čísla jsou přirozená čísla plus nula. Celá čísla jsou celá čísla plus záporná přirozená čísla.
Jiné podmnožiny racionálních čísel zahrnují takové pojmy jako sudá, lichá, prvočísla a dokonalá čísla. Sudá čísla jsou celá čísla, která mají 2 jako faktor; lichá čísla jsou všechna ostatní celá čísla. Prvočísla jsou celá čísla, která mají jako faktory pouze sebe a 1. Perfektní čísla jsou celá čísla, jejichž faktory se sčítají s číslem. Nejmenší dokonalé číslo je 6 a jeho faktory, 1, 2 a 3, sečtou až 6.
Obecně platí, že výpočty prováděné se skutečnými čísly poskytují odpovědi na reálná čísla, ale existuje výjimka. Neexistuje žádné reálné číslo, které po vynásobení dává záporné reálné číslo jako odpověď. Výsledkem je, že druhá odmocnina záporného reálného čísla nemůže být reálné číslo. Druhé odmocniny záporných reálných čísel se nazývají imaginární čísla a jsou to prvky množiny čísel zcela oddělené od reálných čísel.
Studium podmnožin reálných čísel je součástí teorie čísel a klasifikuje čísla, aby bylo snazší pochopit, jak teorie čísel funguje. Seznámení s podmnožinami reálných čísel a jejich vlastnostmi je dobrým základem pro další matematické studie.