Nejlepší způsob, jak rozdělit polynomy na zlomky, začíná redukcí zlomků na jednodušší výrazy. Polynomy představují algebraické výrazy se dvěma nebo více výrazy, konkrétněji součet více výrazů, které mají různé výrazy stejné proměnné. Strategie, které pomáhají se zjednodušením polynomů, zahrnují rozložení největšího společného faktoru, po kterém následuje seskupení rovnice do nejnižších podmínek. Totéž platí i při řešení polynomů zlomky.
Polynomy s definovanými zlomky
Máte tři způsoby, jak zobrazit frázové polynomy se zlomky. První interpretace řeší polynomy se zlomky koeficientů. V algebře je koeficient definován jako počet čísel nebo konstanta nalezená před proměnnou. Jinými slovy, koeficienty pro 7_a_, b a (1/3)C jsou 7, 1 a (1/3). Dva příklady polynomů s frakčními koeficienty by tedy byly:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {a} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
Druhá interpretace „polynomů se zlomky“ se týká polynomů existujících ve zlomku nebo poměru forma s čitatelem a jmenovatelem, kde je polynom čitatele rozdělen jmenovatelem polynomiální. Například tento druhý výklad ilustruje:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Třetí interpretace se mezitím týká rozkladu částečných zlomků, známého také jako expanze částečných zlomků. Polynomiální zlomky jsou někdy složité, takže když jsou „rozloženy“ nebo „rozloženy“ na jednodušší termíny, jsou prezentovány jako součty, rozdíly, produkty nebo podíly polynomu zlomky. Pro ilustraci, komplexní polynomický zlomek:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
je vyhodnocován rozkladem částečných zlomků, který mimochodem zahrnuje factoring polynomů ve své nejjednodušší formě:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
Základy factoringu - distribuční majetek a metoda FOIL
Faktory představují dvě čísla, která se po vynásobení rovnají třetímu číslu. V algebraických rovnicích určuje factoring, jaké dvě veličiny byly společně vynásobeny, aby se dospělo k danému polynomu. Při násobení polynomů je distribuční vlastnost silně sledována. Distribuční vlastnost v podstatě umožňuje vynásobit částku vynásobením každého čísla jednotlivě před přidáním produktů. Pozorujte například, jak se distribuční vlastnost používá v příkladu:
7 (10x + 5) \ text {k dosažení binomického čísla} 70x + 35.
Pokud se však dva binomáře násobí společně, pak se pomocí metody FOIL použije rozšířená verze distribuční vlastnosti. FOIL představuje zkratku pro násobení prvního, vnějšího, vnitřního a posledního výrazu. Faktoring polynomů tedy znamená provedení metody FOIL zpět. Vezměte dva výše uvedené příklady s polynomy obsahujícími zlomkové koeficienty. Provedení metody FOIL zpět na každém z nich vede k faktorům
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
pro první polynom a faktory
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
pro druhý polynom.
Příklad:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
Příklad:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
Kroky, které je třeba podniknout při faktorování polynomiálních zlomků
Z výše uvedeného polynomiální zlomky zahrnují polynom v čitateli dělený polynomem ve jmenovateli. Vyhodnocení polynomiálních zlomků tedy vyžaduje nejdříve factorování polynomu čitatele, po kterém následuje factoring polynomu jmenovatele. Pomáhá najít největší společný faktor neboli GCF mezi čitatelem a jmenovatelem. Jakmile je nalezena GCF čitatele i jmenovatele, ruší se a nakonec redukuje celou rovnici na zjednodušené termíny. Zvažte původní příklad polynomiálního zlomku výše
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
Faktorování polynomů čitatele a jmenovatele k nalezení výsledků GCF v:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
s GCF bytí (X + 2).
GCF v čitateli i jmenovateli se navzájem ruší, aby poskytly konečnou odpověď v nejnižších termínech (X + 5) ÷ (X + 9).
Příklad:
\ begin {zarovnáno} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ cancel {(x + 2)} (x + 5)} {\ zrušit {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {zarovnáno}
Hodnocení rovnic pomocí částečného rozkladu zlomků
Rozklad částečných zlomků, který zahrnuje factoring, je způsob přepsání složitých rovnic polynomiálních zlomků do jednodušší formy. Přehodnocení příkladu shora z
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
Zjednodušte jmenovatele
Zjednodušte jmenovatele a získejte:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
Změňte uspořádání čitatele
Dále uspořádejte čitatele tak, aby ve jmenovateli začal mít GCF, abyste získali:
\ begin {seřazeno} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {zarovnáno}
Pro levý doplněk je GCF (X - 1), zatímco pro správný doplněk je GCF (X + 2), které se ruší v čitateli a jmenovateli, jak je vidět na:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ zrušit {(x - 1)}} {(x + 2) \ zrušit {(x - 1)}} + \ frac {5 \ zrušit {(x + 2)}} {\ zrušit {(x + 2)} (x - 1) }
Když se tedy GCF zruší, konečná zjednodušená odpověď je:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
jako řešení rozkladu parciální frakce.