Rovnici roviny v trojrozměrném prostoru lze zapsat algebraickou notací jako ax + by + cz = d, kde alespoň jeden z konstanty reálného čísla „a“, „b“ a „c“ nesmí být nula a „x“, „y“ a „z“ představují osy trojrozměrného prostoru letadlo. Pokud jsou uvedeny tři body, můžete určit rovinu pomocí vektorových křížových produktů. Vektor je čára v prostoru. Křížový součin je násobení dvou vektorů.
Získejte tři body v letadle. Označte je „A“, „B“ a „C.“ Předpokládejme například, že tyto body jsou A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); a C = (1, 3, 4).
Najděte dva různé vektory v rovině. V příkladu vyberte vektory AB a AC. Vektor AB jde z bodu A do bodu B a vektor AC jde z bodu A do bodu C. Odečtěte tedy každou souřadnici v bodě A od každé souřadnice v bodě B, abyste získali vektor AB: (-2, 3, 1). Podobně je vektor AC bod C mínus bod A nebo (-2, 2, 3).
Vypočítejte součin obou vektorů a získáte nový vektor, který je normální (nebo kolmý nebo kolmý) ke každému ze dvou vektorů a také k rovině. Křížový produkt dvou vektorů, (a1, a2, a3) a (b1, b2, b3), je dán vztahem N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). V příkladu je křížový produkt N, AB a AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], což zjednodušuje na N = 7i + 4j + 2k. Všimněte si, že „i“, „j“ a „k“ se používají k vyjádření vektorových souřadnic.
Odvozte rovnici roviny. Rovnice roviny je Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, kde (a1, a2, a3) je libovolný bod v rovině a (Ni, Nj, Nk ) je normální vektor, N. V příkladu s použitím bodu C, který je (1, 3, 4), je rovina roviny 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, což zjednodušuje na 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 nebo 7x + 4y + 2z = 27.
Ověřte svou odpověď. Nahraďte původní body, abyste zjistili, zda splňují rovnici roviny. Na závěr příkladu, pokud dosadíte některý ze tří bodů, uvidíte, že rovnice roviny je skutečně splněna.
Tipy
V části Zdroje najdete tipy, jak použít systémy tří simultánních rovnic k nalezení rovnice roviny.