Každý student algebry na vyšších úrovních se musí naučit řešit kvadratické rovnice. Jedná se o typ polynomiální rovnice, která zahrnuje sílu 2, ale žádnou vyšší, a mají obecnou formu:sekera2 + bx + C= 0. Můžete je vyřešit pomocí vzorce kvadratické rovnice, faktorizací nebo doplněním čtverce.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Nejprve hledejte faktorizaci k vyřešení rovnice. Pokud není, alebkoeficient je dělitelný 2, doplňte čtverec. Pokud není ani jeden přístup snadný, použijte vzorec kvadratické rovnice.
Využití faktorizace k řešení rovnice
Faktorizace využívá skutečnosti, že pravá strana standardní kvadratické rovnice se rovná nule. To znamená, že pokud můžete rozdělit rovnici na dva členy v závorkách vynásobených navzájem, můžete vyřešit řešení přemýšlením o tom, co by způsobilo, že každá závorka bude rovná nule. Uvedeme konkrétní příklad:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Porovnejte to se standardním formulářem:
ax ^ 2 + bx + c = 0
V příkladuA = 1, b= 6 aC= 9. Úkolem faktorizace je najít dvě čísla, která se sčítají a uvedou číslo vbmísto a násobit společně získat číslo v místě proC.
Takže, představující čísladaE, hledáte čísla, která uspokojí:
d + e = b
Nebo v tomto případě sb = 6:
d + e = 6
A
d × e = c
Nebo v tomto případě sC = 9:
d × e = 9
Zaměřte se na hledání čísel, která jsou faktoryCa poté je sečtěte, abyste zjistili, zda se shodujíb. Pokud máte svá čísla, vložte je v následujícím formátu:
(x + d) (x + e)
Ve výše uvedeném příkladu obojídaEjsou 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Pokud vynásobíte závorky, budete mít opět původní výraz, a proto je dobré zkontrolovat faktorizaci. Tento proces můžete spustit (opakovaným vynásobením první, vnitřní, vnější a poté poslední části závorek - další podrobnosti najdete v části Zdroje), abyste jej viděli obráceně:
\ begin {aligned} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {zarovnáno}
Faktorizace efektivně probíhá v tomto procesu obráceně, ale může být náročné vypracovat správný způsob faktorování kvadratické rovnice a tato metoda není ideální pro každou kvadratickou rovnici důvod. Často musíte uhodnout faktorizaci a poté ji zkontrolovat.
Problémem je nyní to, aby některý z výrazů v závorkách vyšel na nulu pomocí volby hodnoty proX. Pokud se některá závorka rovná nule, celá rovnice se rovná nule a našli jste řešení. Podívejte se na poslední fázi [(X + 3) (X+ 3) = 0] a uvidíte, že závorky vyjdou na nulu pouze v případě, žeX= −3. Ve většině případů však kvadratické rovnice mají dvě řešení.
Faktorizace je ještě náročnější, pokudAse nerovná jedné, ale zaměřit se na jednoduché případy je zpočátku lepší.
Dokončení čtverce k vyřešení rovnice
Dokončení čtverce vám pomůže vyřešit kvadratické rovnice, které nelze snadno faktorizovat. Tato metoda může fungovat pro jakoukoli kvadratickou rovnici, ale některé rovnice jí vyhovují více než jiným. Tento přístup zahrnuje vytvoření výrazu do dokonalého čtverce a jeho řešení. Obecný dokonalý čtverec se rozšiřuje takto:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Chcete-li vyřešit kvadratickou rovnici vyplněním čtverce, získejte výraz do formy na pravé straně výše. Nejprve rozdělte číslo nabpozice o 2 a výsledek pak umocněte na druhou. Takže pro rovnici:
x ^ 2 + 8x = 0
Koeficientb= 8, takžeb÷ 2 = 4 a (b ÷ 2)2 = 16.
Přidejte toto na obě strany a získejte:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Všimněte si, že tento formulář odpovídá perfektnímu čtvercovému tvaru sd= 4, takže 2d= 8 ad2 = 16. Tohle znamená tamto:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Vložte toto do předchozí rovnice a získejte:
(x + 4) ^ 2 = 16
Nyní vyřešte rovnici proX. Vezměte druhou odmocninu obou stran a získáte:
x + 4 = \ sqrt {16}
Odečtěte 4 z obou stran a získejte:
x = \ sqrt {16} - 4
Kořen může být kladný nebo záporný a převzetí záporného kořene dává:
x = -4 - 4 = -8
Najděte další řešení s kladným kořenem:
x = 4 - 4 = 0
Jediným nenulovým řešením je tedy −8. Zaškrtněte toto pro potvrzení původním výrazem.
Využití kvadratického vzorce k řešení rovnice
Vzorec kvadratické rovnice vypadá složitěji než ostatní metody, ale je to nejspolehlivější metoda a můžete ji použít na jakékoli kvadratické rovnici. Rovnice používá symboly ze standardní kvadratické rovnice:
ax ^ 2 + bx + c = 0
A uvádí, že:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Vložte příslušná čísla na jejich místa a projděte vzorec, který chcete vyřešit, nezapomeňte zkusit jak odečíst, tak přidat druhou odmocninu a poznamenat si obě odpovědi. V následujícím příkladu:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Ty mášA = 1, b= 6 aC= 5. Vzorec tedy dává:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {zarovnáno}
Pozitivní znaménko dává:
\ begin {zarovnáno} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {zarovnáno}
A záporné znaménko dává:
\ begin {zarovnáno} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {zarovnáno}
Která jsou dvě řešení pro rovnici.
Jak určit nejlepší metodu řešení kvadratických rovnic
Než zkusíte něco jiného, podívejte se na faktorizaci. Pokud jednu najdete, je to nejrychlejší a nejjednodušší způsob řešení kvadratické rovnice. Pamatujte, že hledáte dvě čísla, která by součtu odpovídalabkoeficient a vynásobte, čímž získáteCsoučinitel. Pro tuto rovnici:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Můžete si všimnout, že 2 + 3 = 5 a 2 × 3 = 6, takže:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
AX= -2 neboX = −3.
Pokud nevidíte faktorizaci, zkontrolujte, zdabkoeficient je dělitelný 2 bez použití zlomků. Pokud ano, vyplnění čtverce je pravděpodobně nejjednodušší způsob řešení rovnice.
Pokud se ani jeden z nich nezdá vhodný, použijte vzorec. To se jeví jako nejtěžší přístup, ale pokud jste na zkoušce nebo se jinak snažíte o čas, může to celý proces učinit mnohem méně stresujícím a mnohem rychlejším.