Binomická distribuce popisuje proměnnou X pokud 1) je pevné číslo n pozorování proměnné; 2) všechna pozorování jsou na sobě nezávislá; 3) pravděpodobnost úspěchu str je pro každé pozorování stejné; a 4) každé pozorování představuje jeden z přesně dvou možných výsledků (odtud slovo „binomický“ - myslím „binární“). Tato poslední kvalifikace rozlišuje binomické distribuce od Poissonových distribucí, které se mění spíše kontinuálně než diskrétně.
Takovou distribuci lze psát B(n, str).
Výpočet pravděpodobnosti daného pozorování
Řekněte hodnotu k leží někde podél grafu binomického rozdělení, které je symetrické s průměrem np. Chcete-li vypočítat pravděpodobnost, že pozorování bude mít tuto hodnotu, je třeba vyřešit tuto rovnici:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
kde
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
„!“ znamená faktoriální funkci, např. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Příklad
Řekněme, že basketbalový hráč provede 24 trestných hodů a má stanovenou úspěšnost 75 procent (str = 0.75). Jaká je šance, že zasáhne přesně 20 ze svých 24 střel?
Nejprve vypočítat (n: k) jak následuje:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10 626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Tím pádem
P (20) = 10 626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Tento hráč má tedy 13,1 procentní šanci na provedení přesně 20 z 24 volných hodů, v souladu s tím, co by mohla intuice naznačují o hráčce, která by obvykle zasáhla 18 z 24 trestných hodů (kvůli její úspěšnosti 75 procent).
