Předpokládejme, že máte n typů položek a chcete vybrat jejich sbírku. Možná budeme chtít tyto položky v určitém pořadí. Tyto sady položek nazýváme permutace. Pokud na pořadí nezáleží, nazýváme sadu kombinací sbírek. U obou kombinací a permutací můžete zvážit případ, ve kterém vyberete některé z n typů více než jednou, který se nazývá „s opakováním“, nebo případ, kdy zvolíte každý typ pouze jednou, který se nazývá „ne“ opakování'. Cílem je umět spočítat počet možných kombinací nebo permutací v dané situaci.
Objednávky a faktoriály
Faktoriální funkce se často používá při výpočtu kombinací a permutací. N! znamená N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Například 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Počet způsobů, jak objednat sadu položek, je faktoriál. Vezměte tři písmena a, b a c. Máte tři možnosti pro první písmeno, dvě pro druhé a pouze jednu pro třetí. Jinými slovy, celkem 3 × 2 × 1 = 6 objednávek. Obecně platí, že existuje n! způsoby, jak objednat n položek.
Permutace s opakováním
Předpokládejme, že máte tři místnosti, které budete malovat, a každá bude vymalována jednou z pěti barev: červená (r), zelená (g), modrá (b), žlutá (y) nebo oranžová (o). Každou barvu si můžete vybrat tolikrát, kolikrát chcete. Na výběr máte pět barev pro první místnost, pět pro druhou a pět pro třetí. To dává celkem 5 × 5 × 5 = 125 možností. Obecně platí, že počet způsobů, jak vybrat skupinu položek r v určitém pořadí z n opakovatelných možností, je n ^ r.
Permutace bez opakování
Předpokládejme, že každá místnost bude mít jinou barvu. Můžete si vybrat z pěti barev pro první místnost, čtyři pro druhou a jen tři pro třetí. To dává 5 × 4 × 3 = 60, což je shodou okolností 5! / 2!. Obecně platí, že počet nezávislých způsobů výběru položek r v určitém pořadí z n neopakovatelných možností je n! / (N – r) !.
Kombinace bez opakování
Dále zapomeňte na to, která místnost je která barva. Stačí vybrat tři nezávislé barvy pro barevné schéma. Na pořadí zde nezáleží, takže (červená, zelená, modrá) je stejná jako (červená, modrá, zelená). Pro výběr ze tří barev jsou k dispozici 3! způsoby, jak si je můžete objednat. Počet permutací tedy snížíte o 3! získat 5! / (2! × 3!) = 10. Obecně si můžete vybrat skupinu položek r v libovolném pořadí z výběru n neopakovatelných možností způsoby n! / [(N – r)! × r!].
Kombinace s opakováním
Nakonec musíte vytvořit barevné schéma, ve kterém můžete libovolnou barvu použít libovolně často. Chytrý kód účetnictví pomáhá tomuto úkolu počítání. Použijte tři X k reprezentaci místností. Váš seznam barev je reprezentován výrazem „rgbyo“. Smíchejte X do svého seznamu barev a přidružte každé X k první barvě nalevo od ní. Například rgXXbyXo znamená, že první místnost je zelená, druhá zelená a třetí žlutá. X musí mít alespoň jednu barvu vlevo, takže pro první X je k dispozici pět slotů. Protože seznam nyní obsahuje X, je k dispozici šest dostupných slotů pro druhé X a sedm dostupných slotů pro třetí X. Celkově existuje 5 × 6 × 7 = 7! / 4! způsoby, jak napsat kód. Pořadí pokojů je však libovolné, takže existuje pouze 7! / (4! × 3!) Jedinečných uspořádání. Obecně si můžete vybrat r položek v libovolném pořadí z n opakovatelných voleb způsoby (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!].