Jak vypočítat průřezovou plochu

Můžete se setkat se situacemi, ve kterých máte trojrozměrný pevný tvar a potřebujete zjistit oblast imaginární roviny vložené do tvaru a mající hranice definované hranicemi pevný.

Pokud vám například pod domem vedla válcová trubka o délce 20 metrů (m) a průměru 0,15 m, možná budete chtít znát plocha průřezu potrubí.

Průřezy mohou být kolmé na orientaci os těles, pokud existují. V případě koule bude mít každá rovina řezu sférou bez ohledu na orientaci za následek disk určité velikosti.

Plocha průřezu závisí na tvaru tělesa určujícího průřez hranice a úhel mezi osou symetrie tělesa (pokud existuje) a rovinou, která vytváří průřez.

Objem libovolného obdélníkového tělesa, včetně krychle, je plocha jeho základny (délka krát šířka) vynásobená jeho výškou: V = d × š × v.

Pokud je tedy průřez rovnoběžný s horní nebo dolní částí tělesa, je plocha průřezu l × w. Pokud je rovina řezu rovnoběžná s jednou ze dvou sad stran, je plocha průřezu místo toho dána l × h nebo w × h.

Pokud průřez není kolmý k žádné ose symetrie, vytvořeným tvarem může být trojúhelník (je-li umístěn přes roh tělesa) nebo dokonce šestiúhelník.

Příklad: Vypočítejte plochu průřezu roviny kolmé na základnu krychle o objemu 27 m³.

• Protože l = w = h pro krychli, musí být kterýkoli okraj krychle dlouhý 3 m (od 3

  × 3 

  × 3 = 27). Průřez popsaného typu by proto měl být čtverec 3 m na straně, což by mělo plochu 9 m².

Válec je těleso vytvořené prodloužením kruhu prostorem kolmým na jeho průměr. Plocha kruhu je dána vzorcem πr², kde r je poloměr. Dává tedy smysl, že objem válce by byl oblastí jednoho z kruhů tvořících jeho základnu.

Pokud je průřez rovnoběžný s osou symetrie, pak je plocha průřezu jednoduše kružnicí s oblastí πr². Pokud je rovina řezu vložena pod jiným úhlem, je generovaným tvarem elipsa. Oblast používá odpovídající vzorec: πab (kde a je nejdelší vzdálenost od středu elipsy k okraji a b je nejkratší).

Příklad: Jaká je průřezová plocha potrubí pod vaším domovem popsaná v úvodu?

• To je jen πr² = π (0,15 m)²=

  π (0,0225) m² = 0,071 m². Pamatujte, že délka potrubí není pro tento výpočet relevantní.

Jakákoli teoretická rovina umístěná přes kouli vyústí v kruh (přemýšlejte o tom několik okamžiků). Pokud znáte průměr nebo obvod kružnice, kterou průřez tvoří, můžete použít vztahy C = 2πr a A = πr² získat řešení.

Příklad: Letadlo je hrubě vloženo přes Zemi velmi blízko k severnímu pólu, čímž je odstraněna část planety vzdálená 10 m. Jaká je průřezová plocha tohoto chladného plátku Země?

• Protože C = 2πr = 10 m, r = 10 / 2π = 1,59 m; A = πr²= π(1.59)²= 7,96 m².