Podobné trojúhelníky mají stejný tvar, ale ne nutně stejnou velikost. Když jsou trojúhelníky podobné, mají mnoho stejných vlastností a charakteristik. Věty o podobnosti trojúhelníku určují podmínky, za kterých jsou si dva trojúhelníky podobné, a zabývají se stranami a úhly každého trojúhelníku. Jakmile konkrétní kombinace úhlů a stran uspokojí věty, můžete trojúhelníky považovat za podobné.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Existují tři věty o podobnosti trojúhelníků, které určují, za jakých podmínek jsou trojúhelníky podobné:
- Pokud jsou dva úhly stejné, třetí úhel je stejný a trojúhelníky jsou podobné.
- Pokud jsou tři strany ve stejném poměru, trojúhelníky jsou podobné.
- Pokud jsou dvě strany ve stejném poměru a zahrnutý úhel je stejný, trojúhelníky jsou podobné.
Věty AA, AAA a úhlové úhly
Pokud jsou dva úhly dvou trojúhelníků stejné, jsou trojúhelníky podobné. To je zřejmé z pozorování, že tři úhly trojúhelníku musí přidat až 180 stupňů. Pokud jsou známy dva z úhlů, lze třetí najít odečtením dvou známých úhlů od 180. Pokud jsou tři úhly dvou trojúhelníků stejné, mají trojúhelníky stejný tvar a jsou si podobné.
Věta o SSS nebo Side-Side-Side
Pokud jsou všechny tři strany dvou trojúhelníků stejné, jsou trojúhelníky nejen podobné, ale jsou shodné nebo identické. U podobných trojúhelníků musí být tři strany dvou trojúhelníků pouze proporcionální. Například pokud má jeden trojúhelník strany 3, 5 a 6 palců a druhý trojúhelník má strany 9, 15 a 18 palce, každá ze stran většího trojúhelníku je trojnásobkem délky jedné ze stran menšího trojúhelník. Boky jsou navzájem úměrné a trojúhelníky jsou podobné.
Věta SAS nebo Side-Angle-Side
Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud jsou dvě strany dvou trojúhelníků proporcionální a zahrnutý úhel nebo úhel mezi stranami je stejný. Například pokud dvě ze stran trojúhelníku jsou 2 a 3 palce a strany jiného trojúhelníku jsou 4 a 6 palce, strany jsou proporcionální, ale trojúhelníky nemusí být podobné, protože dvě třetí strany mohou být jakékoli délka. Pokud je zahrnutý úhel stejný, jsou všechny tři strany trojúhelníků proporcionální a trojúhelníky jsou podobné.
Další možné kombinace na straně úhlu
Pokud je jedna ze tří vět o podobnosti tří trojúhelníků splněna pro dva trojúhelníky, jsou trojúhelníky podobné. Existují ale i další možné kombinace bočních úhlů, které mohou nebo nemusí zaručit podobnost.
U konfigurací známých jako úhel-úhel-strana (AAS), úhel-úhel-strana (ASA) nebo boční-úhel-úhel (SAA) nezáleží na tom, jak velké jsou strany; trojúhelníky budou vždy podobné. Tyto konfigurace se redukují na větu AA o úhlu, což znamená, že všechny tři úhly jsou stejné a trojúhelníky jsou podobné.
Konfigurace bočního úhlu nebo úhlové boční strany však nezajišťují podobnost. (Nezaměňujte boční úhel s bočním úhlem; „strany“ a „úhly“ v každém názvu odkazují na pořadí, ve kterém narazíte na strany a úhly.) V určitých případech, například pro pravoúhlé trojúhelníky, pokud jsou dvě strany proporcionální a úhly, které nejsou zahrnuty, jsou stejné, jsou trojúhelníky podobný. Ve všech ostatních případech mohou být trojúhelníky podobné.
Podobné trojúhelníky do sebe zapadají, mohou mít rovnoběžné strany a měřítko od jednoho k druhému. Určení, zda jsou si dva trojúhelníky podobné, pomocí vět o podobnosti trojúhelníku, je důležité, když jsou tyto charakteristiky použity k řešení geometrických problémů.