V matematice a geometrii je jednou ze dovedností, která odlišuje odborníky od předstíraných, znalost triků a zkratek. Čas, který jim věnujete, se vyplácí v čase ušetřeném při řešení problémů. Například stojí za to znát dva speciální pravé trojúhelníky, které, jakmile je poznáte, lze snadno vyřešit. Zejména dva trojúhelníky jsou 30-60-90 a 45-45-90.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Dva speciální pravé trojúhelníky mají vnitřní úhly 30, 60 a 90 stupňů a 45, 45 a 90 stupňů.
O pravých trojúhelnících
Trojúhelníky jsou třístranné polygony, jejichž vnitřní úhly se sčítají až do 180 stupňů. Pravý trojúhelník je speciální případ, ve kterém je jeden z úhlů 90 stupňů, takže další dva úhly podle definice musí přidat až 90. Sinusová, kosinová, tečná a další trigonometrické funkce poskytují způsoby výpočtu vnitřních úhlů pravoúhlých trojúhelníků a délky jejich stran. Dalším nepostradatelným výpočtovým nástrojem pro pravé trojúhelníky je Pythagorova věta, která uvádí že čtverec délky přepony se rovná součtu čtverců ostatních dvou strany, nebo
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Řešení zvláštních pravoúhlých trojúhelníků
Když pracujete na jakémkoli problému pravoúhlého trojúhelníku, obvykle dostanete alespoň jeden úhel a jednu stranu a budete požádáni o výpočet zbývajících úhlů a stran. Pomocí výše uvedeného Pythagorovho vzorce můžete vypočítat délku kterékoli strany, pokud dostanete další dvě. Velkou výhodou speciálních pravoúhlých trojúhelníků je, že proporce délek jejich stran jsou vždy stejné, takže můžete zjistit délku všech stran, pokud máte pouze jednu. Pokud máte pouze jednu stranu a trojúhelník je zvláštní, můžete také najít hodnoty úhlů.
Trojúhelník 30-60-90
Jak název napovídá, pravý trojúhelník 30-60-90 má vnitřní úhly 30, 60 a 90 stupňů. V důsledku toho strany tohoto trojúhelníku spadají do proporcí 1: 2: √3, kde 1 a √3 jsou délky protilehlé a sousední strany a 2 je přepona. Tato čísla vždy jdou k sobě: pokud vyřešíte strany pravoúhlého trojúhelníku a zjistíte, že odpovídají vzoru, 1, 2, √3, víte, že úhly budou 30, 60 a 90 stupňů. Stejně tak, pokud máte jeden z úhlů 30, víte, že další dva jsou 60 a 90, a také že strany budou mít proporce 1: 2: √3.
Trojúhelník 45-45-90
Trojúhelník 45-45-90 funguje podobně jako 30-60-90, kromě toho, že dva úhly jsou stejné, stejně jako opačné a sousední strany. Má vnitřní úhly 45, 45 a 90 stupňů. Podíly stran trojúhelníku jsou 1: 1: √2, přičemž podíl přepony je √2. Další dvě strany mají stejnou délku. Pokud pracujete na pravoúhlém trojúhelníku a jeden z vnitřních úhlů je 45 stupňů, víte v v okamžiku, kdy zbývající úhel musí být také 45 stupňů, protože celý trojúhelník musí přidat až 180 stupňů.
Strany a rozměry trojúhelníku
Při řešení dvou speciálních pravoúhlých trojúhelníků nezapomeňte, že se jedná oproporcezáleží na stranách, nikoli na jejich měření v absolutních číslech. Například trojúhelník má strany, které měří 1 stopu a 1 stopu a √2 stopy, takže víte, že jde o trojúhelník 45–45–90 a má vnitřní úhly 45, 45 a 90 stupňů.
Ale co děláte s pravým trojúhelníkem, jehož strany měří √ 17 stop a √ 17 stop? Klíčem jsou proporce stran. Jelikož jsou obě strany identické, je poměr 1: 1 navzájem, a protože se jedná o pravý trojúhelník, je poměr přepony 1: √2 s kteroukoli z ostatních stran. Stejné proporce vás upozorní, že strany jsou 1, 1, √2, které patří pouze speciálnímu trojúhelníku 45-45-90. Chcete-li najít přeponu, vynásobte √17 √2 a získejte √34 stop.
