Na rozdíl od rovnostranného trojúhelníku se třemi stejnými stranami a úhly je rovnoramenný se dvěma stejnými stranami nebo pravý trojúhelník s úhlem 90 stupňů má scalenový trojúhelník tři strany náhodných délek a tři náhodné úhly. Chcete-li znát jeho oblast, musíte provést několik měření. Pokud můžete změřit délku jedné strany a kolmou vzdálenost této strany k opačnému úhlu, máte dostatek informací k výpočtu plochy. Je také možné vypočítat plochu, pokud znáte délky všech tří stran. Stanovení hodnoty jednoho z úhlů i délek obou stran, které ji tvoří, také umožňuje vypočítat plochu.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Plocha scalenového trojúhelníku se základnou b a výškou h je dána 1/2 bh. Pokud znáte délky všech tří stran, můžete vypočítat plochu pomocí Heronova vzorce, aniž byste museli zjistit výšku. Pokud znáte hodnotu úhlu a délky obou stran, které jej tvoří, můžete pomocí Zákona kosinů zjistit délku třetí strany a poté pomocí Heronova vzorce vypočítat plochu.
Obecný vzorec pro hledání oblasti
Zvažte náhodný trojúhelník. Je možné nakreslit kolem něj obdélník, který používá jednu ze stran jako základnu (nezáleží na tom, která z nich) a jen se dotýká vrcholu třetího úhlu. Délka tohoto obdélníku se rovná délce strany trojúhelníku, který jej tvoří, která se nazývá základna (b). Jeho šířka se rovná kolmé vzdálenosti od základny k vrcholu, která se nazývá výška (h) trojúhelníku.
Plocha obdélníku, který jste právě nakreslili, se rovnáb × h. Pokud však prozkoumáte čáry trojúhelníku, uvidíte, že rozdělují dvojici obdélníků vytvořených kolmou čarou od základny k vrcholu přesně na polovinu. Oblast uvnitř trojúhelníku je tedy přesně poloviční než mimo ni, tedy 1/2bh. Pro libovolný trojúhelník:
\ text {Area} = \ frac {1} {2} \ text {base} × \ text {height}
Heronův vzorec
Matematici věděli, jak po tisíciletí vypočítat plochu trojúhelníku se třemi známými stranami. Používají Heronův vzorec, pojmenovaný po Heronovi z Alexandrie. Chcete-li použít tento vzorec, musíte nejprve najít poloviční obvod (s) trojúhelníku, který provedete sečtením všech tří stran a vydělením výsledku dvěma. Pro trojúhelník se stranamiA, baC, poloviční obvod
s = \ frac {1} {2} (a + b + c)
Jakmile vítes, vypočítáte plochu pomocí tohoto vzorce:
\ text {Area} = \ sqrt {s (s - a) (s - b) (s - c)}
Použití zákona kosinů
Vezměme si trojúhelník se třemi úhlyA, BaC. Délky tří stran jsouA, baC. Strana a je opačný úhelA, bočníbje opačný úhelBa bočníCje opačný úhelC. Pokud znáte jeden z úhlů - například úhelC- a dvě strany, které ji tvoří - v tomto případě,Aab- délku třetí strany můžete vypočítat pomocí tohoto vzorce:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos (C)
Jakmile znáte hodnotuC, můžete vypočítat plochu pomocí Heronova vzorce.