Objem trojrozměrného tělesa je množství trojrozměrného prostoru, který zabírá. Objem některých jednoduchých obrázků lze vypočítat přímo, když je znám povrch jedné z jeho stran. Objem mnoha tvarů lze také vypočítat z jejich povrchových ploch. Objem některých složitějších tvarů lze vypočítat pomocí integrálního počtu, pokud je funkce popisující jeho povrchovou plochu integrovatelná.
Nechť \ "S \" je těleso se dvěma rovnoběžnými plochami nazývanými \ "základny. \" Všechny průřezy tělesa, které jsou rovnoběžné se základnami, musí mít stejnou plochu jako základny. Nechť \ "b \" bude oblast těchto průřezů a \ "h \" bude vzdálenost oddělující dvě roviny, ve kterých leží základny.
Vypočítejte objem \ "S \" jako V = bh. Hranoly a válce jsou jednoduchými příklady tohoto typu tělesa, ale zahrnuje také složitější tvary. Všimněte si, že objem těchto pevných látek lze snadno vypočítat bez ohledu na to, jak složitý je tvar základny, pokud platí podmínky v kroku 1 a je známa povrchová plocha základny.
Nechť \ "P \" je těleso vytvořené spojením základny s bodem zvaným vrchol. Nechť vzdálenost mezi vrcholem a základnou je \ "h, \" a vzdálenost mezi základnou a průřezem, který je rovnoběžný se základnou, \ "z. \" Dále nechme plochu základny \ "b \" a plochu průřezu \ "c. \" Pro všechny takové průřezy platí (h - z) / h = c / b.
Vypočítejte objem \ "P \" v kroku 3 jako V = bh / 3. Pyramidy a kužely jsou jednoduchými příklady tohoto typu tělesa, ale zahrnuje také složitější tvary. Základna může mít jakýkoli tvar, pokud je známa její povrchová plocha a podmínky v kroku 3 platí.
Vypočítejte objem koule z její povrchové plochy. Plocha koule je A = 4? R ^ 2. Integrací této funkce s ohledem na \ "r \" získáme objem koule jako V = 4/3? R ^ 3.