Schopnost vypočítat průměrnou nebo střední hodnotu skupiny čísel je důležitá v každém aspektu života. Pokud jste profesorem, který přiřazuje hodnocení písmen k výsledkům zkoušek a tradičně uděluje známku B- až a skóre uprostřed balíčku, pak zjevně potřebujete vědět, jak vypadá střed balíčku numericky. Potřebujete také způsob, jak identifikovat skóre jako odlehlé hodnoty, abyste mohli určit, kdy si někdo zaslouží A nebo A + (samozřejmě mimo perfektní skóre), a také to, co si zaslouží známku, která selhala.
Z tohoto a souvisejících důvodů zahrnují úplná data o průměrech informace o tom, jak úzce seskupeny kolem průměrného skóre jsou skóre obecně. Tyto informace jsou přenášeny pomocí standardní odchylka a souvisejícím způsobem rozptyl statistického vzorku.
Míry variability
Téměř jistě jste slyšeli nebo viděli výraz „průměr“ používaný v souvislosti s množinou čísel nebo datových bodů a pravděpodobně máte představu o tom, k čemu se překládá v běžném jazyce. Například pokud si přečtete, že průměrná výška americké ženy je asi 5 '4 ", okamžitě to uzavřete „průměr“ znamená „typický“ a že přibližně polovina žen ve Spojených státech je vyšší než tato, zatímco zhruba polovina žen kratší.
Matematicky, průměrný a znamenat jsou přesně to samé: Přidáte všechny hodnoty do sady a vydělíte počtem položek v sadě. Pokud se například skupina 25 skóre v testu s 10 otázkami pohybuje v rozmezí od 3 do 10 a součet je 196, průměrné (průměrné) skóre je 196/25 nebo 7,84.
Medián je hodnota středního bodu v sadě, číslo, nad nímž leží polovina hodnot a polovina hodnot níže. Obvykle se blíží průměru (průměr), ale není to totéž.
Varianční vzorec
Pokud se podíváte na sadu 25 skóre, jako jsou ty výše, a nevidíte téměř nic kromě hodnot 7, 8 a 9, dává intuitivní smysl, že průměr by měl být kolem 8. Ale co když nevidíte téměř nic než skóre 6 a 10? Nebo pět skóre 0 a 20 skóre 9 nebo 10? To vše může produkovat stejný průměr.
Rozptyl je měřítkem toho, jak široce jsou body v souboru dat rozloženy kolem průměru. Chcete-li vypočítat rozptyl ručně, vezmete aritmetický rozdíl mezi každým z datových bodů a průměrem, umocněte je, přidejte součet čtverců a výsledek vydělte o jeden méně, než je počet datových bodů v vzorek. Příklad tohoto je uveden později. Můžete také použít programy jako Excel nebo weby jako Rapid Tables (další zdroje najdete v části Zdroje).
Rozptyl je označen σ2, řecké „sigma“ s exponentem 2.
Standardní odchylka
The standardní odchylka vzorku je jednoduše druhá odmocnina rozptylu. Důvod, proč se čtverce používají při výpočtu rozptylu, je ten, že když jednoduše spočítáte jednotlivé rozdíly mezi průměrem a každým individuální datový bod, součet je vždy nula, protože některé z těchto rozdílů jsou pozitivní a některé jsou negativní a navzájem se ruší ven. Srovnání každého výrazu eliminuje tuto úskalí.
Ukázka rozptylu a problém standardní odchylky
Předpokládejme, že máte 10 datových bodů:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Najděte průměr, rozptyl a směrodatnou odchylku.
Nejprve sečtěte 10 hodnot dohromady a vydělte 10, abyste získali průměr (průměr):
70/10 = 7.0
Chcete-li získat rozptyl, vyrovnejte rozdíl mezi každým datovým bodem a průměrem, sečtěte je dohromady a výsledek vydělte (10 - 1) nebo 9:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Směrodatná odchylka σ je druhá odmocnina 4,0 nebo 2,0.