Zatímco anglická slova „sequence“ a „series“ mají podobný význam, v matematice se jedná o zcela odlišné pojmy. Sekvence je seznam čísel umístěných v definovaném pořadí, zatímco řada je součtem takového seznamu čísel. Existuje mnoho druhů sekvencí, včetně sekvencí založených na nekonečných seznamech čísel. Různé sekvence a odpovídající série mají různé vlastnosti a mohou poskytnout překvapivé výsledky.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Sekvence jsou seznamy čísel umístěných v určitém pořadí podle daných pravidel. Série odpovídající posloupnosti je součtem čísel v dané posloupnosti. Série mohou být aritmetické, což znamená, že existuje pevný rozdíl mezi čísly řady, nebo geometrické, což znamená, že existuje pevný faktor. Nekonečné řady nemají konečné číslo, ale za určitých podmínek mohou mít stále pevnou částku.
Typy sekvencí a sérií
Běžné sekvence jsou aritmetické nebo geometrické. V aritmetické posloupnosti se každé číslo nebo člen posloupnosti liší od předchozího členu stejnou částkou. Například pokud je rozdíl aritmetické sekvence 2, odpovídající aritmetická sekvence může být 1, 3, 5... Pokud je rozdíl -3, může být sekvence 4, 1, -2... Aritmetická posloupnost je definována počátečním číslem a rozdílem.
U geometrických posloupností se termíny liší faktorem. Například sekvence s faktorem 2 může být 2, 4, 8... a sekvence s faktorem 0,75 může být 32, 24, 18... Geometrická posloupnost je definována počátečním číslem a faktorem.
Typy sérií závisí na sekvenci, která se přidává. Aritmetická řada přidává pojmy aritmetické sekvence a geometrická řada přidává geometrickou posloupnost.
Konečné a nekonečné sekvence a řady
Sekvence a odpovídající řady mohou být založeny na pevném počtu termínů nebo na nekonečném počtu. Konečná posloupnost má počáteční číslo, rozdíl nebo faktor a pevný celkový počet členů. Například první výše uvedená aritmetická sekvence s osmi členy bude 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. První geometrická posloupnost výše se šesti členy by byla 2, 4, 8, 16, 32, 64. Odpovídající aritmetická řada by měla hodnotu 64 a geometrická řada 126. Nekonečné sekvence nemají pevný počet termínů a jejich termíny mohou růst do nekonečna, klesat na nulu nebo se blížit k pevné hodnotě. Odpovídající řada může mít také nekonečný, nulový nebo fixní výsledek.
Konvergentní a divergentní série
Nekonečné řady se liší, pokud se součet blíží nekonečnu, jak se zvyšuje počet členů. Nekonečná řada je konvergentní, pokud se její součet blíží neomezené hodnotě, jako je nula nebo jiné pevné číslo. Série jsou konvergentní, pokud se podmínky podkladové sekvence rychle blíží nule.
Série přidávající členy nekonečné sekvence 1, 2, 4... je divergentní, protože podmínky posloupnosti stále rostou, což umožňuje součtu dosáhnout nekonečné hodnoty s rostoucím počtem členů. Řada 1, 0,5, 0,25... je konvergentní, protože termíny se rychle stávají velmi malými.
Zatímco sekvence jsou seřazené seznamy čísel a řady jsou součty, oba mohou být důležitým nástrojem vyhodnocení množin čísel a vlastnosti konvergence nebo divergence mohou mít skutečný život Dopady. Divergentní řada často představuje nestabilní podmínku, zatímco konvergentní řada často znamená, že proces nebo struktura budou stabilní.