V matematice se k vyvrácení výroku používá protipříklad. Pokud chcete dokázat, že tvrzení je pravdivé, musíte napsat důkaz, který prokáže, že je vždy pravdivý; uvedení příkladu nestačí. Ve srovnání s napsáním důkazu je psaní protikladu mnohem jednodušší; chcete-li ukázat, že příkaz není pravdivý, musíte uvést pouze jeden příklad scénáře, ve kterém je příkaz nepravdivý. Většina protikladů v algebře zahrnuje numerické manipulace.
Dvě třídy matematiky
Důkazy a hledání protipříkladů jsou dvě základní třídy matematiky. Většina matematiků se při vývoji nových vět a vlastností zaměřuje na korektury. Když výroky nebo domněnky nelze prokázat pravdivými, matematici je vyvracejí poskytnutím protikladů.
Protiklady jsou konkrétní
Místo použití proměnných a abstraktních notací můžete argumenty vyvrátit pomocí numerických příkladů. V algebře většina protikladů zahrnuje manipulaci pomocí různých kladných a záporných nebo lichých a sudých čísel, extrémních případů a speciálních čísel jako 0 a 1.
Jeden protiklad je dostatečný
Filozofie protipříkladu je, že pokud v jednom scénáři tvrzení neplatí, pak je tvrzení nepravdivé. Nematematickým příkladem je „Tom nikdy nelhal.“ Chcete-li ukázat, že toto tvrzení je pravdivé, musíte poskytnout „důkaz“, že Tom nikdy neřekl lži, a to sledováním každého tvrzení, které kdy udělal. Chcete-li však toto tvrzení vyvrátit, musíte prokázat jen jednu lež, kterou Tom kdy promluvil.
Slavné protiklady
„Všechna prvočísla jsou lichá.“ Ačkoli jsou téměř všechna prvočísla, včetně všech prvočísel nad 3, lichá, „2“ je prvočíslo, které je sudé; toto tvrzení je nepravdivé; „2“ je příslušný protiklad.
"Odčítání je komutativní." Sčítání i násobení je komutativní - lze je provádět v libovolném pořadí. To znamená, že pro všechna reálná čísla a a b platí a + b = b + a a * b = b * a. Odečtení však není komutativní; protiklad prokazující toto: 3 - 5 se nerovná 5 - 3.
„Každá spojitá funkce je rozlišitelná.“ Absolutní funkce | x | je spojitá pro všechna kladná a záporná čísla; ale není diferencovatelné na x = 0; od | x | je spojitá funkce, tento protiklad dokazuje, že ne každá spojitá funkce je diferencovatelná.