Druhé odmocniny se často vyskytují v matematických a přírodovědných problémech a každý student si musí osvojit základy odmocniny, aby tyto otázky zvládl. Druhá odmocnina se zeptá „jaké číslo, když se vynásobí samo, dá následující výsledek,“ a při jeho vypracování je třeba, abyste o číslech přemýšleli trochu jiným způsobem. Můžete však snadno porozumět pravidlům odmocniny a odpovědět na všechny otázky, které se jich týkají, ať už vyžadují přímý výpočet nebo jen zjednodušení.
TL; DR (příliš dlouhý; Nečetl)
Druhá odmocnina se vás zeptá, které číslo, když se vynásobí samo, dá výsledek za symbolem √. Takže √9 = 3 a √16 = 4. Každý root má technicky kladnou i zápornou odpověď, ale ve většině případů je pozitivní odpověď ta, která vás bude zajímat.
Druhé odmocniny můžete počítat stejně jako běžná čísla, takže √ab = √A √b, nebo √6 = √2√3.
Co je to druhá odmocnina?
Druhé odmocniny jsou opakem „kvadratury“ čísla nebo jeho vynásobení. Například tři na druhou jsou devět (32 = 9), takže druhá odmocnina z devíti je tři. V symbolech to je
\ sqrt {9} = 3
Symbol „√“ vám říká, abyste vzali druhou odmocninu čísla, což najdete na většině kalkulaček.
Pamatujte, že každé číslo skutečně mádvaodmocniny. Tři vynásobené třemi se rovnají devíti, ale záporné tři vynásobené zápornými třemi se rovnají devíti, takže
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {a} \ sqrt {9} = ± 3
s ± stojí za „plus nebo mínus“. V mnoha případech můžete ignorovat záporné odmocniny čísel, ale někdy je důležité si uvědomit, že každé číslo má dva kořeny.
Můžete být požádáni, abyste použili „kořen krychle“ nebo „čtvrtý kořen“ čísla. Kořen kostky je číslo, které se při dvojnásobném vynásobení rovná původnímu číslu. Čtvrtý kořen je číslo, které se při trojnásobném vynásobení rovná původnímu číslu. Stejně jako druhé odmocniny jde o pravý opak toho, jak brát sílu čísel. Takže 33 = 27, a to znamená, že krychlový kořen 27 je 3, nebo
\ sqrt [3] {27} = 3
Symbol „∛“ představuje kořen krychle čísla, které následuje za ním. Kořeny jsou někdy také vyjádřeny jako zlomkové síly, takže
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {a} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Zjednodušení čtvercových kořenů
Jedním z nejnáročnějších úkolů, které možná budete muset s odmocninami provést, je zjednodušení velkých odmocnin, ale při řešení těchto otázek musíte dodržovat několik jednoduchých pravidel. Druhé odmocniny můžete činit stejným způsobem jako při výpočtu běžných čísel. Například 6 = 2 × 3, takže
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Zjednodušení větších kořenů znamená postupovat faktorizací krok za krokem a pamatovat si definici druhé odmocniny. Například √132 je velký kořen a může být těžké pochopit, co dělat. Můžete však snadno zjistit, že je dělitelný dvěma, takže můžete psát
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
66 je však také dělitelné 2, takže můžete psát:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
V tomto případě druhá odmocnina čísla vynásobeného druhou odmocninou dává pouze původní číslo (z důvodu definice druhé odmocniny), takže
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Stručně řečeno, druhou odmocninu můžete zjednodušit pomocí následujících pravidel
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Co je to druhá odmocnina ...
Pomocí výše uvedených definic a pravidel najdete druhou odmocninu většiny čísel. Zde je několik příkladů, které je třeba zvážit.
Druhá odmocnina z 8
Toto nelze přímo najít, protože to není druhá odmocnina celého čísla. Použití pravidel pro zjednodušení však poskytuje:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Druhá odmocnina 4
To využívá jednoduchou druhou odmocninu 4, což je √4 = 2. Problém lze vyřešit přesně pomocí kalkulačky a √8 = 2,8284 ...
Druhá odmocnina z 12
Stejným přístupem zkuste vypočítat druhou odmocninu 12. Rozdělte kořen na faktory a poté zjistěte, zda jej můžete znovu rozdělit na faktory. Zkuste to jako praktický problém a podívejte se na níže uvedené řešení:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Tento zjednodušený výraz lze znovu použít podle potřeby v problémech nebo jej lze vypočítat přesně pomocí kalkulačky. To ukazuje kalkulačka
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3,4641….
Druhá odmocnina z 20
Druhá odmocnina 20 lze nalézt stejným způsobem:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4,4721….
Druhá odmocnina z 32
Nakonec řešte druhou odmocninu 32 pomocí stejného přístupu:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Zde si všimněte, že jsme již vypočítali druhou odmocninu 8 jako 2√2, a to √4 = 2, takže:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5 657 ...
Druhá odmocnina záporného čísla
Ačkoli definice druhé odmocniny znamená, že záporná čísla by neměla mít druhou odmocninu (protože jakékoli číslo se znásobilo sama o sobě dává ve výsledku kladné číslo), matematici se s nimi setkali v rámci problémů v algebře a vymysleli řešení. „Imaginární“ čísloise rozumí „druhá odmocnina mínus 1“ a jakékoli další záporné kořeny se vyjadřují jako násobkyi. Tak
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Tyto problémy jsou náročnější, ale můžete se je naučit řešit na základě definiceia standardní pravidla pro kořeny.
Ukázkové otázky a odpovědi
Vyzkoušejte, jak rozumíte odmocninám, zjednodušením podle potřeby a výpočtem následujících kořenů:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Pokuste se je vyřešit dříve, než se podíváte na odpovědi níže:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7,071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8,637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4,899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196