Rotační kinematika: Co to je a proč na tom záleží (s rovnicemi a příklady)

Kinematika je matematické odvětví fyziky, které k popisu pohybu objektů (konkrétně jejich) používá rovnicetrajektorie) bez odkazu na síly.

To znamená, že můžete jednoduše připojit různá čísla k sadě čtyř kinematických rovnic, abyste našli neznámé ty rovnice, aniž byste potřebovali jakékoli znalosti fyziky za tímto pohybem, spoléhající se pouze na vaši algebru dovednosti.

Představte si „kinematiku“ jako kombinaci „kinetiky“ a „matematiky“ - jinými slovy, matematiky pohybu.

Rotační kinematika je přesně to, ale konkrétně se zabývá objekty pohybujícími se po kruhových drahách spíše než vodorovně nebo svisle. Stejně jako objekty ve světě translačního pohybu lze tyto rotující objekty popsat z hlediska jejich posunutí, rychlosti a zrychlení v čase, i když se některé proměnné nutně mění, aby se přizpůsobily základním rozdílům mezi lineárním a úhlovým pohyb.

Je skutečně velmi užitečné naučit se základy lineárního pohybu a rotačního pohybu současně, nebo je alespoň seznámit s příslušnými proměnnými a rovnicemi. To vás nemá přemoci, ale naopak to má podtrhnout paralely.

Při učení o těchto „typech“ pohybu ve vesmíru je samozřejmě důležité pamatovat na to, že překlad a rotace se zdaleka vzájemně nevylučují. Ve skutečnosti většina pohybujících se objektů ve skutečném světě vykazuje kombinaci obou typů pohybu, přičemž jeden z nich často není na první pohled patrný.

Protože „rychlost“ obvykle znamená „lineární rychlost“ a „zrychlení“ znamená „lineární zrychlení“, není-li uvedeno jinak, je vhodné přezkoumat několik jednoduchých příkladů základního pohybu.

Lineární pohyb doslovně znamená pohyb omezený na jedinou linii, často přiřazenou proměnné „x“. Problémy s pohybem projektilu zahrnují x- i y-dimenze a gravitace je jediná vnější síla (všimněte si, že tyto problémy jsou popsány jako vyskytující se v trojrozměrném světě, např. „Dělová koule je vyhozen… “).

Všimněte si té hmotymnezadává kinematické rovnice jakéhokoli druhu, protože gravitační účinek na pohyb objektů je nezávisle na jejich hmotnosti a veličiny jako hybnost, setrvačnost a energie nejsou součástí žádných rovnic pohyb.

Protože rotační pohyb zahrnuje studium kruhových cest (v nerovnoměrných i stejnoměrných kruzích) pohyb), namísto použití metrů k popisu posunutí objektu, použijete radiány nebo stupně namísto.

Radian je na povrchu nepříjemná jednotka, překládající se na 57,3 stupňů. Ale jedna cesta kolem kruhu (360 stupňů) je definována jako 2π radiány, a z důvodů, které se chystáte vidět, se to v některých případech osvědčilo při řešení problémů.

• Vztahπ rad = 180 stupňůlze použít ke snadnému převodu mezi oběma měrnými jednotkami.

Mohou nastat problémy, které zahrnují počet otáček za jednotku času (rpm nebo rps). Nezapomeňte, že každá revoluce má radiály 2π nebo 360 stupňů.

Translační kinematická měření nebo jednotky, všechny mají rotační analogy. Například namísto lineární rychlosti, která například popisuje, jak daleko se míč v daném časovém intervalu válí v přímce,rotačníneboúhlová rychlostpopisuje rychlost otáčení této koule (kolik se otáčí v radiánech nebo ve stupních za sekundu).

Hlavní věc, kterou je třeba mít na paměti, je, že každá překladová jednotka má rotační analog. Naučit se matematicky a koncepčně spojovat „partnery“ vyžaduje trochu praxe, ale většinou jde o jednoduchou substituci.

Lineární rychlostprotispecifikuje jak velikost, tak směr translace částice; úhlová rychlostω(řecké písmeno omega) představuje jeho singulární rychlost, což je rychlost, jakou se objekt otáčí v radiánech za sekundu. Podobně i rychlost změnyω, úhlové zrychlení, je dáno vztahemα(alfa) v rad / s².

Hodnotyωaαjsou stejné pro jakýkoli bod na pevném objektu, ať už se měří 0,1 m od osy otáčení nebo 1 000 metrů, protože úhel je pouze tak rychlýθzměny, na kterých záleží.

Ve většině situací, kdy jsou vidět rotační veličiny, však existují tangenciální (a tedy lineární) rychlosti a zrychlení. Tangenciální veličiny se počítají vynásobením úhlových veličinr, vzdálenost od osy otáčení:proti_t​ = ​ωraα​​_t​ = ​α​​r.​

Nyní, když byly analogie měření mezi rotačním a lineárním pohybem na druhou pomocí zavedení nových úhlových výrazů, lze je použít k přepsání čtyři klasické translační kinematické rovnice z hlediska rotační kinematiky, jen s poněkud odlišnými proměnnými (písmena v rovnicích představující neznámé množství).

V kinematice jsou ve hře čtyři základní rovnice a čtyři základní proměnné: poloha (X​, ​yneboθ), rychlost (protineboω), zrychlení (Aneboα) a čast. Kterou rovnici si vyberete, záleží na tom, o kterých neznámých množstvích se má začít.

​- [vložte tabulku lineárních / translačních kinematických rovnic zarovnaných s jejich rotačními analogy]​

Řekněme například, že vám bylo řečeno, že rameno stroje protáhlo úhlovým posunem 3π / 4 radiány s počáteční úhlovou rychlostíω₀0 rad / s a ​​konečná úhlová rychlostωπ rad / s. Jak dlouho tento pohyb trval?

Zatímco každá translační rovnice má rotační analog, zpětná vazba není zcela pravdivá kvůli dostředivému zrychlení, které je důsledkem tangenciální rychlostiproti_ta směřuje k ose otáčení. I když nedojde ke změně rychlosti částice obíhající kolem těžiště, představuje to zrychlení, protože směr vektoru rychlosti se vždy mění.

1. Tenká tyč, klasifikovaná jako tuhé těleso o délce 3 m, se otáčí kolem osy kolem jednoho konce. Zrychluje rovnoměrně z klidu na 3π rad / s² po dobu 10 s.

a) Jaká je průměrná úhlová rychlost a úhlové zrychlení během této doby?

Stejně jako u lineární rychlosti stačí rozdělit (ω₀+​ ​ω) o 2 pro získání průměrné úhlové rychlosti: (0 + 3π s.)^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​s^-1​.

• Radiány jsou bezrozměrná jednotka, takže v kinematických rovnicích je úhlová rychlost vyjádřena jako s^-1.

Průměrné zrychlení je dáno vztahemω=ω₀+ αtneboα= (3π s^-1/ 10 s) =0,3π s^-2​.

b) Kolik úplných otáček prut provede?

Protože průměrná rychlost je 1,5π s^-1 a tyč se točí 10 sekund, pohybuje se celkem 15 radiány. Jelikož jedna revoluce je 2π radiány, znamená to (15π / 2π) = 7,5 otáčky (sedm úplných otáček) v tomto problému.

c) Jaká je tangenciální rychlost konce tyče v čase t = 10 s?

Od té dobyproti_t​ = ​ωr, aωv čase t = 10 je 3π s^-1, ​proti_t= (3π s^-1) (3 m) =9π m / s.​

​Jáje definován jako moment setrvačnosti (nazývaný takédruhý okamžik oblasti) v rotačním pohybu a je analogický s hmotou pro výpočetní účely. Objevuje se tedy tam, kde by se hmota objevila ve světě lineárního pohybu, možná nejdůležitější při výpočtu momentu hybnostiL. Toto je produktJáa​ω​,a je vektor se stejným směrem jako​ω​.​

​I = pan² pro bodovou částici, ale jinak to závisí na tvaru objektu provádějícího rotaci i na ose rotace. Praktický seznam hodnot hodnoty najdete v části ZdrojeJápro běžné tvary.

Hmotnost se liší, protože množství v rotační kinematice, ke kterému se vztahuje, moment setrvačnosti, ve skutečnosti sámobsahujehmota jako součást.