Výpočet trajektorie střely slouží jako užitečný úvod k některým klíčovým pojmům v klasické fyzice, ale má také velký prostor pro zahrnutí složitějších faktorů. Na nejzákladnější úrovni trajektorie střely funguje stejně jako trajektorie jakéhokoli jiného střely. Klíčem je oddělení složek rychlosti do os (x) a (y) a použití konstantního zrychlení v důsledku gravitace k určení, jak daleko může kulka letět, než dopadne na zem. Můžete však také zahrnout drag a další faktory, pokud chcete přesnější odpověď.
Ignorujte odpor větru pro výpočet vzdálenosti ujeté střelou pomocí jednoduchého vzorce:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Kde (v0x) je jeho počáteční rychlost, (h) je výška, ze které je vystřeleno, a (g) je zrychlení v důsledku gravitace.
Tento vzorec obsahuje drag:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Zde (C) je koeficient odporu střely, (ρ) je hustota vzduchu, (A) je oblast střely, (t) je doba letu a (m) je hmotnost střely.
Pozadí: (x) a (y) komponenty rychlosti
Hlavním bodem, který musíte pochopit při výpočtu trajektorií, je, že rychlosti, síly nebo jakýkoli jiný „vektor“ (který má směr i sílu) mohou být rozdělit na „komponenty“. Pokud se něco pohybuje pod úhlem 45 stupňů k vodorovné rovině, pomyslete na to, že se pohybuje vodorovně určitou rychlostí a svisle určitou Rychlost. Kombinace těchto dvou rychlostí a zohlednění jejich různých směrů vám poskytne rychlost objektu, včetně rychlosti a jejich výsledného směru.
Pomocí funkcí cos a sin oddělte síly nebo rychlosti do jejich složek. Pokud se něco pohybuje rychlostí 10 metrů za sekundu pod úhlem 30 stupňů k vodorovné rovině, složka x rychlosti je:
v_x = v \ cos {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ cos {30} = 8,66 \ text {m / s}
Kde (v) je rychlost (tj. 10 metrů za sekundu) a na místo (θ) můžete umístit libovolný úhel, aby vyhovoval vašemu problému. Složka (y) je dána podobným výrazem:
v_y = v \ sin {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ sin {30} = 5 \ text {m / s}
Tyto dvě složky tvoří původní rychlost.
Základní trajektorie s rovnicemi pro konstantní zrychlení
Klíčem k většině problémů týkajících se trajektorií je to, že se projektil zastaví vpřed, když narazí na podlahu. Pokud je kulka vystřelena z 1 metru ve vzduchu a gravitační zrychlení ji sníží o 1 metr, nemůže dále cestovat. To znamená, že složka y je nejdůležitější věcí, kterou je třeba vzít v úvahu.
Rovnice pro posunutí složky y je:
y = v_ {0y} t- \ frac {1} {2} gt ^ 2
Dolní index „0“ znamená počáteční rychlost ve směru (y), (t) znamená čas a (g) znamená gravitační zrychlení, které je 9,8 m / s2. Můžeme to zjednodušit, pokud je kulka vystřelena perfektně vodorovně, takže nemá rychlost ve směru (y). Toto ponechává:
y = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
V této rovnici znamená (y) posunutí z výchozí polohy a my chceme vědět, jak dlouho trvá dopadnutí střely z výchozí výšky (h). Jinými slovy, chceme
y = -h = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Které znovu uspořádáte:
t = \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Toto je čas letu střely. Jeho přední rychlost určuje vzdálenost, kterou urazí, a to je dáno vztahem:
x = v_ {0x} t
Tam, kde je rychlost rychlost, kterou zbraň nechává. To ignoruje účinky tažení, aby se zjednodušila matematika. Použitím rovnice pro (t) nalezené před chvílí je ujetá vzdálenost:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
U střely, která vystřelí rychlostí 400 m / s a je vystřelena z výšky 1 metru, to dává:
x = (400 \ text {m / s}) \ sqrt {\ frac {2 (1 \ text {m})} {9,8 \ text {m / s} ^ 2}} = 180,8 \ text {m}
Kulka se tedy pohybuje asi 181 metrů, než dopadne na zem.
Začlenění Drag
Pro realističtější odpověď použijte tažení do výše uvedených rovnic. To trochu komplikuje věci, ale můžete to snadno vypočítat, pokud najdete požadované kousky informací o střele a teplotě a tlaku, kde je vystřelena. Rovnice pro sílu v důsledku tažení je:
F_ {drag} = \ frac {-C \ rho Av ^ 2} {2}
Zde (C) představuje koeficient odporu střely (můžete zjistit pro konkrétní střelu nebo použijte C = 0,295 jako obecný údaj), ρ je hustota vzduchu (asi 1,2 kg / metr krychlový za normálního tlaku a teploty), (A) je plocha průřezu střely (můžete ji vyřešit pro konkrétní střelu nebo stačí použít A = 4,8 × 10−5 m2, hodnota ráže .308) a (v) je rychlost střely. Nakonec použijete hmotnost střely k přeměně této síly na zrychlení pro použití v rovnici, kterou lze brát jako m = 0,016 kg, pokud nemáte na mysli konkrétní kulku.
To dává složitější výraz pro vzdálenost ujetou ve směru (x):
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
To je komplikované, protože technicky brzda snižuje rychlost, což zase snižuje odpor, ale věci můžete zjednodušit pouhým výpočtem odporu na základě počáteční rychlosti 400 m / s. Při použití doby letu 0,452 s (jako dříve) to dává:
x = (400 \ text {m / s}) (0,452 \ text {s}) - \ frac {(0,295) (1,2 \ text {kg / m} ^ 3) (4,8 \ times10 ^ {- 5} \ text {m} ^ 2) (400 \ text {m / s}) ^ 2 (0,452 \ text { s}) ^ 2} {2 (0,016 \ text {kg})} \\ = 180,8 \ text {m} - \ frac {0,555 \ text {kgm}} {0,032 \ text {kg}} \\ = 180,8 \ text {m} -17,3 \ text {m} \\ = 163,5 \ text { m}
Přidání odporu tedy změní odhad přibližně o 17 metrů.