Как да решим уравнение с квадратен корен

Квадратният корен на число е стойност, която, умножена по себе си, дава първоначалното число. Например квадратният корен от 0 е 0, квадратният корен от 100 е 10 и квадратният корен от 50 е 7.071. Понякога можете да разберете или просто да си припомните квадратния корен от число, което само по себе си е „перфектен квадрат“, което е произведение на цяло число, умножено по себе си; докато напредвате в обучението си, най-вероятно ще развиете ментален списък с тези числа (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Проблемите, свързани с квадратни корени, са незаменими в инженерството, смятането и практически във всяко царство на съвременния свят. Въпреки че можете лесно да намерите онлайн калкулатори на уравнения с квадратни корени (вижте Ресурси за пример), решаването на уравнения с квадратни корени е важно умение в алгебра, защото ви позволява да се запознаете с използването на радикали и да работите с редица типове проблеми извън сферата на квадратните корени сами по себе си.

Фактът, че умножаването на две отрицателни числа заедно дава положително число, е важен в света на квадратните корени, защото предполага че положителните числа всъщност имат два квадратни корена (например квадратните корени на 16 са 4 и −4, дори ако само първият е интуитивен). По същия начин отрицателните числа нямат реални квадратни корени, защото няма реално число, което да придобие отрицателна стойност, когато се умножи по себе си. В тази презентация отрицателният квадратен корен от положително число ще бъде игнориран, така че "квадратен корен от 361" може да се приеме като "19", а не като "−19 и 19."

Също така, когато се опитвате да изчислите стойността на квадратен корен, когато няма удобен калкулатор, е важно да осъзнаете, че функциите, включващи квадрати и квадратни корени, не са линейни. Ще видите повече за това в раздела за графиките по-късно, но като груб пример вече сте забелязали, че коренът от 100 е 10, а коренът от 0 е 0. На пръв поглед това може да ви накара да предположите, че квадратният корен за 50 (което е на половината между 0 и 100) трябва да е 5 (което е на половината между 0 и 10). Но също така вече сте научили, че коренът от 50 е 7.071.

И накрая, може би сте възприели идеята, че умножаването на две числа заедно дава число по-голямо от себе си, което означава, че квадратните корени на числата винаги са по-малки от оригинала номер. Това не е така! Числата между 0 и 1 също имат квадратни корени и във всеки случай квадратният корен е по-голям от първоначалното число. Това се показва най-лесно с помощта на дроби. Например 16/25 или 0,64 има перфектен квадрат както в числителя, така и в знаменателя. Това означава, че квадратният корен на фракцията е квадратният корен на нейните горни и долни компоненти, което е 4/5. Това е равно на 0,80, по-голямо число от 0,64.

"Квадратният корен нах"обикновено се пише с помощта на така наречения радикален знак или просто радикал (√). По този начин за всеких​:

представлява неговия квадратен корен. Обръщайки това, квадратът на числохсе пише с помощта на степен 2 (х​²). Експонентите вземат индекси за текстообработка и свързани приложения и се наричат ​​също правомощия. Тъй като радикалните знаци не винаги са лесни за получаване при поискване, друг начин да се напише "квадратен корен отх"е да се използва степен:

Това от своя страна е част от обща схема:

означава "повишаванехдо силата нау, след това вземетеz"корен от него."х​^1/2 по този начин означава "повишаванехдо първата сила, което е простохотново и след това вземете 2 корена от него или квадратния корен. "Удължавайки това,х​^(5/3) означава "повишаванехдо степен 5, след това намерете третия корен (или куб корен) от резултата. "

Радикалите могат да се използват за представяне на корени, различни от 2, квадратния корен. Това става чрез просто добавяне на горен индекс в горния ляв ъгъл на радикала.

след това представлява същия номер катох​^(5/3) от предходния параграф прави.

Повечето квадратни корени са ирационални числа. Това означава, че те не само не са хубави, чисти цели числа (напр. 1, 2, 3, 4.. .), но те също не могат да бъдат изразени като чисто десетично число, което завършва, без да се налага закръгляване. Рационалното число може да се изрази като дроб. Така че, въпреки че 2,75 не е цяло число, това е рационално число, защото е същото като фракцията 11/4. По-рано ви казаха, че квадратният корен от 50 е 7.071, но това всъщност се закръглява от безкраен брой десетични знаци. Точната стойност на √50 е 5√2 и скоро ще видите как се определя това.

Вече видяхте, че уравненията при включване на квадрати и квадратни корени са нелинейни. Един лесен начин да се запомни това е, че графиките на решенията на тези уравнения не са линии. Това има смисъл, защото ако, както беше отбелязано, квадратът 0 е 0, а квадратът 10 е 100, но квадратът от 5 не е 50, графиката, получена от просто квадратиране на число, трябва да извие пътя си към правилния стойности.

Такъв е случаят с графиката на

както можете да се убедите сами, като посетите калкулатора в Ресурси и промените параметрите. Линията преминава през точката (0,0) и y не отива под 0, което би трябвало да очаквате, защото знаете товах​² никога не е отрицателно. Можете също така да видите, че графиката е симетрична околоу-ос, което също има смисъл, защото всеки положителен квадратен корен от дадено число е придружен от отрицателен квадратен корен с еднаква величина. Следователно, с изключение на 0, всекиустойност на графиката нау​ = ​х​² се свързва с двех-стойности.

Един от начините за справяне с основните проблеми с квадратни корени на ръка е да се търсят идеални квадрати, „скрити“ вътре в проблема. Първо, важно е да сте наясно с няколко жизненоважни свойства на квадратите и квадратните корени. Едно от тях е това, точно както √х​² е просто равно нах(защото радикалът и експонентата се отменят взаимно):

Тоест, ако имате перфектен квадрат под радикал, умножаващ друго число, можете да го „извадите“ и да го използвате като коефициент на това, което остава. Например връщане към квадратния корен от 50

Понякога можете да завършите с число, включващо квадратни корени, което се изразява като дроб, но все пак е ирационално число, тъй като знаменателят, числителят или и двете съдържат радикал. В такива случаи може да бъдете помолени да рационализирате знаменателя. Например числото

има радикал както в числителя, така и в знаменателя. Но след като разгледате „45“, може да го разпознаете като продукт на 9 и 5, което означава, че

Следователно фракцията може да бъде записана

Радикалите се отменят взаимно и вие оставате с 6/3 = 2.