Можете да представите всяка линия, която можете да изобразите върху двуизмерна ос x-y чрез линейно уравнение. Един от най-простите алгебрични изрази, линейно уравнение е това, което свързва първата степен на x с първата степен на y. Линейното уравнение може да приеме една от трите форми: форма на точката на наклона, формата на отклонението на наклон и стандартната форма. Можете да напишете стандартния формуляр по един от двата еквивалентни начина. Първият е:
Ax + By + C = 0
където A, B и C са константи. Вторият начин е:
Ax + By = C
Обърнете внимание, че това са обобщени изрази и константите във втория израз не са непременно същите като тези в първия. Ако искате да преобразувате първия израз във втория за определени стойности на A, B и C, ще трябва да напишете
Ax + By = -C
Извеждане на стандартния формуляр за линейно уравнение
Линейното уравнение дефинира линия по оста x-y. Избирайки произволни две точки на линията, (x1, у1) и (x2, у2), ви позволява да изчислите наклона на линията (m). По дефиниция това е "нарастването над хода" или промяната в координатата y разделена на промяната в координатата x.
m = \ frac {∆y} {∆x} = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
Сега нека (х1, у1) да бъде определена точка (а, б) и нека (х2, у2) да бъде недефиниран, т.е. всички стойности нахиу. Изразът за наклон става
m = \ frac {y - b} {x - a}
което опростява до
m (x - a) = y - b
Това е формата на точката на наклона на линията. Ако вместо (а, б) вие избирате точката (0,б), това уравнение ставаmx = у − б. Пренареждане за поставянеуот само себе си от лявата страна ви дава формата за пресичане на наклон на линията:
y = mx + b
Наклонът обикновено е дробно число, така че нека бъде равно на -A/Б.. След това можете да конвертирате този израз в стандартен формуляр за линия, като преместитехтермин и константа отляво и опростяване:
Ax + By = C
където° С = Bbили
Ax + By + C = 0
където° С = −Bb
Пример 1
Преобразуване в стандартна форма:
y = \ frac {3} {4} x + 2
4y = 3x + 2
4y - 3x = 2
3x - 4y = 2
Това уравнение е в стандартна форма.A = 3, Б.= -2 и° С = 2
Пример 2
Намерете стандартното уравнение на линията, която минава през точките (-3, -2) и (1, 4).
\ начало {подравнено} m & = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \\ & = \ frac {1 - (-3)} {4 - 2} \\ & = \ frac {4} {2 } \\ & = 2 \ край {подравнено}
Общата форма на точка на наклон е
m (x - a) = y - b
Ако използвате точката (1, 4), това става
2 (x - 1) = y - 4
2x - 2 - y + 4 = 0 \\ 2x - y + 2 = 0
Това уравнение е в стандартна формаБрадва + От + ° С= 0 къдетоA = 2, Б.= -1 и° С = 2
