Решаването на неравенствата в абсолютната стойност много прилича на решаването на уравнения на абсолютната стойност, но има няколко допълнителни подробности, които трябва да имате предвид. Помага да се чувствате комфортно при решаването на уравнения на абсолютната стойност, но е добре, ако ги изучавате заедно!
Определение за абсолютно неравенство на стойността
На първо място, anабсолютна стойност неравенствое неравенство, което включва израз на абсолютна стойност. Например,
| 5 + x | - 10> 6
е неравенство по абсолютна стойност, тъй като има знак за неравенство,> и израз на абсолютна стойност, | 5 +х |.
Как да разрешим абсолютно неравенство в стойността
Theстъпки към решаване на абсолютно неравенство на стойносттаса много като стъпките за решаване на уравнение на абсолютна стойност:
Етап 1:Изолирайте израза на абсолютната стойност от едната страна на неравенството.
Стъпка 2:Решете положителната "версия" на неравенството.
Стъпка 3:Решете отрицателната "версия" на неравенството, като умножите количеството от другата страна на неравенството по -1 и обърнете знака за неравенство.
Това може да се вземе много наведнъж, така че ето пример, който ще ви преведе през стъпките.
Решете неравенството зах:
| 5 + 5x | - 3> 2
За да направите това, вземете | 5 + 5х| само по себе си от лявата страна на неравенството. Всичко, което трябва да направите, е да добавите 3 към всяка страна:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Сега има две „версии“ за неравенството, които трябва да разрешим: положителната „версия“ и отрицателната „версия“.
За тази стъпка ще приемем, че нещата са такива, каквито изглеждат: че 5 + 5х > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Това е просто неравенство; просто трябва да решите захкакто обикновено. Извадете 5 от двете страни, след което разделете двете страни на 5.
\ начало {подравнено} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(извадете пет от двете страни)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(разделете двете страни на пет)} \\ & x> 0 \ end {подравнено}
Не е зле! Така че едно възможно решение за нашето неравенство е товах> 0. Сега, тъй като има включени абсолютни стойности, време е да обмислим и друга възможност.
За да разберете този следващ бит, помага да си спомните какво означава абсолютна стойност.Абсолютна стойностизмерва разстоянието на числото от нула. Разстоянието винаги е положително, така че 9 е на девет единици от нулата, но −9 също е на девет единици от нулата.
Така че | 9 | = 9, но | −9 | = 9 също.
Сега отново към проблема по-горе. Горната работа показа, че | 5 + 5х| > 5; с други думи, абсолютната стойност на "нещо" е по-голяма от пет. Сега всяко положително число, по-голямо от пет, ще бъде по-далеч от нула, отколкото е пет. Така че първият вариант беше, че "нещо", 5 + 5х, е по-голямо от 5.
Това е:
5 + 5x> 5
Това е сценарият, разгледан по-горе, в Стъпка 2.
А сега помислете малко по-нататък. Какво друго е на разстояние пет единици от нулата? Е, отрицателната пет е. И всичко по-нататък по числовата линия от минус пет ще бъде още по-далеч от нулата. Така че нашето „нещо“ може да бъде отрицателно число, което е по-далеч от нулата от отрицателната пет. Това означава, че би било по-звучащо число, но техническипо-малко ототрицателна пет, защото се движи в отрицателната посока на числовата права.
Така че нашето "нещо", 5 + 5x, може да бъде по-малко от −5.
5 + 5x
Бързият начин да направите това алгебрично е да умножите количеството от другата страна на неравенството, 5, по отрицателно, след което да обърнете знака за неравенство:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
След това решете както обикновено.
\ начало {подравнено} & 5 + 5x
Така че двете възможни решения на неравенството сах> 0 илих< −2. Проверете се, като включите няколко възможни решения, за да сте сигурни, че неравенството все още е вярно.
Абсолютни неравенства в стойността без решение
Има сценарий, в който би ималоняма решения за абсолютно неравенство в стойността. Тъй като абсолютните стойности винаги са положителни, те не могат да бъдат равни или по-малки от отрицателните числа.
Така че |х| няма решениетъй като резултатът от израз на абсолютна стойност трябва да бъде положителен.
Интервална нотация
За да напишем решението на нашия основен пример винтервална нотация, помислете как изглежда решението на числовата линия. Нашето решение бешех> 0 илих< −2. На числова линия това е отворена точка при 0, с линия, простираща се до положителна безкрайност, и отворена точка при -2, с линия, простираща се до отрицателна безкрайност. Тези решения са насочени един към друг, а не един към друг, така че вземете всяко парче поотделно.
За x> 0 на числова линия има отворена точка при нула и след това линия, простираща се до безкрайност. В интервални обозначения отворена точка е илюстрирана със скоби, (), а затворена точка или неравенства с ≥ или ≤ ще използват скоби, []. Така че зах> 0, напишете (0, ∞).
Другата половина,х
„Или“ в интервална нотация е знакът на обединението, ∪.
Така че решението в интервалната нотация е
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)