Наборът от реални числа се състои от всички числа на цифров ред. Подмножествата могат да включват всяка колекция от числа, но елементите на важна подмножество трябва да имат поне няколко общи характеристики. Повечето от тези подмножества са полезни само за конкретни изчисления, но има няколко, които имат интересни свойства и които помагат да се разбере как работи реалната бройна система.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Най-важните подмножества от множеството реални числа включват рационалните и ирационалните числа. Наборът от рационални числа може да бъде разделен на други подмножества, включително естествените числа, цели числа и цели числа. Други подмножества на реалните числа са четните и нечетните числа, простите числа и перфектните числа. Като цяло има безкраен брой подмножества на реалните числа.
Подмножества с реални числа като цяло
За всеки набор, съдържащ количество от n елемента, броят на подмножествата е 2н. Множеството от реални числа има безкраен брой елементи и следователно съответният експоненциал на 2 също е безкраен, което дава безкраен брой подмножества.
Много от тези подмножества могат да се използват при работа с реалната бройна система и по време на изчисления, но те са полезни само за специфични цели. Например за изчисляване на цената на няколко пици за приятели може да представлява интерес само подмножеството от числа от десет до сто. Външен термометър може да показва само подмножеството от температури от минус 40 до плюс 120 градуса по Фаренхайт. Работата с подобни подмножества е полезна, тъй като всеки резултат извън очакваното подмножество вероятно е грешен.
По-общите подмножества на реалните числа класифицират числата според техните характеристики и в резултат на това тези подмножества имат уникални свойства. Реалната бройна система се е развила от подмножества като естествените числа, които се използват за броене, и такива подмножества формират основата за разбиране на алгебрата.
Подмножества, които съставят реалните числа
Наборът от реални числа се състои от рационалните и ирационалните числа. Рационалните числа са цели числа и числа, които могат да бъдат изразени като дроб. Всички други реални числа са ирационални и включват числа като квадратния корен от 2 и числото pi. Тъй като ирационалните числа се определят като подмножество от реални числа, всички ирационални числа трябва да са реални числа.
Рационалните числа могат да бъдат разделени на допълнителни подмножества. Естествените числа са числа, които в миналото са били използвани при преброяване, и те са последователността 1, 2, 3 и т.н. Целите числа са естествените числа плюс нула. Целите числа са целите числа плюс отрицателните естествени числа.
Други подмножества на рационалните числа включват такива понятия като четни, нечетни, прости и перфектни числа. Четните числа са цели числа, които имат фактор 2; нечетните числа са всички останали цели числа. Простите числа са цели числа, които имат само себе си и 1 като фактори. Перфектните числа са цели числа, чиито фактори се добавят към числото. Най-малкото перфектно число е 6 и неговите фактори, 1, 2 и 3 се събират до 6.
По принцип изчисленията, извършени с реални числа, дават отговори на реални числа, но има изключение. Няма реално число, което, умножено по себе си, да дава отрицателно реално число като отговор. В резултат на това квадратният корен от отрицателно реално число не може да бъде реално число. Квадратните корени на отрицателните реални числа се наричат въображаеми числа и те са елементите на набор от числа, напълно отделени от реалните числа.
Изучаването на подмножествата на реалните числа е част от теорията на числата и тя класифицира числата, за да улесни разбирането как работи теорията на числата. Запознаването с подмножествата с реални числа и техните свойства е добра основа за по-нататъшни математически изследвания.