Как да разделим многочлените с дроби

Най-добрият начин за факториране на полиноми с фракции започва с намаляването на фракциите до по-прости членове. Полиномите представляват алгебрични изрази с два или повече термина, по-точно сумата от множество членове, които имат различни изрази на една и съща променлива. Стратегиите, които помагат за опростяване на полиноми, включват факториране на най-големия общ фактор, последвано от групиране на уравнението в най-ниските му членове. Същото важи дори при решаване на полиноми с дроби.

Имате три начина, по които да видите фразата полиноми с фракции. Първата интерпретация се отнася до полиноми с дроби за коефициенти. В алгебрата коефициентът се дефинира като числово число или константа, намерени преди променлива. С други думи, коефициентите за 7_a_, б и (1/3)° С са съответно 7, 1 и (1/3). Следователно два примера на полиноми с коефициенти на фракция ще бъдат:

Втората интерпретация на „полиноми с фракции“ се отнася до полиноми, съществуващи във фракция или съотношение форма с числител и знаменател, където многочленът на числителя е разделен на знаменателя многочлен. Например тази втора интерпретация е илюстрирана от:

Третото тълкуване междувременно се отнася до частично разлагане на фракцията, известно още като частично разширение на фракцията. Понякога полиномиалните фракции са сложни, така че когато са „разложени“ или „разбити“ по-прости термини, те се представят като суми, разлики, произведения или частни от полином фракции. За илюстрация сложната полиномна част от:

се оценява чрез частично разлагане на фракции, което между другото включва факториране на полиноми, за да бъде в най-простата си форма:

Факторите представляват две числа, които, когато се умножат заедно, се равняват на трето число. В алгебричните уравнения факторингът определя кои две величини са умножени заедно, за да се получи даден полином. Разпределителното свойство се следва силно при умножаване на полиноми. Разпределителното свойство по същество позволява на човек да умножи сума, като умножи всяко число поотделно, преди да добави продуктите. Наблюдавайте например как се прилага разпределителното свойство в примера на:

Но ако два бинома се умножат заедно, тогава се използва разширена версия на дистрибутивното свойство чрез метода FOIL. FOIL представлява съкращението за First, Outer, Inner и Last термини, които се умножават. Следователно факторингът на полиномите предполага извършването на метода FOIL назад. Вземете двата гореспоменати примера с полиномите, съдържащи коефициенти на фракция. Извършването на метода FOIL назад за всеки от тях води до факторите на

за първия полином и факторите на

за втория полином.

Пример:

Пример:

От горе, полиномиалните дроби включват полином в числителя, разделен на полином в знаменателя. По този начин изчисляването на полиномни дроби изисква факториране на полинома на числителя, първо последвано от факториране на полинома на знаменателя. Помага да се намери най-големият общ фактор, или GCF, между числителя и знаменателя. След като GCF на числителя и знаменателя бъде намерен, той се отменя, в крайна сметка намалявайки цялото уравнение в опростени термини. Помислете за оригиналния пример на полиномиална дроб по-горе на

Факторирането на многочлените на числителя и знаменателя, за да се намери GCF, води до:

с GCF (х + 2).

GCF както в числителя, така и в знаменателя се отменят, за да предоставят окончателен отговор в най-ниските условия на (х + 5) ÷ (х + 9).

Пример:

Разлагането на частична фракция, което включва факторинг, е начин за пренаписване на сложни уравнения на полиномиални фракции в по-проста форма. Преразглеждане на примера отгоре на

Опростете знаменателя, за да получите:

След това пренаредете числителя, така че да започне да има GCFs в знаменателя, за да получите:

За лявото добавяне GCF е (х - 1), докато за правилното добавяне GCF е (х + 2), които се отменят в числителя и знаменателя, както се вижда в:

По този начин, когато GCF се отменят, окончателният опростен отговор е:

като разтвор на частичното разлагане на фракцията.