Алгебрата често включва опростяване на изрази, но някои изрази са по-объркващи за работа, отколкото други. Комплексните числа включват количеството, известно катоi, „въображаемо“ число със свойствотоi= √−1. Ако трябва просто израз, включващ комплексно число, това може да изглежда обезсърчително, но това е доста прост процес, след като научите основните правила.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Опростете комплексните числа, като следвате правилата на алгебра с комплексни числа.
Какво е комплексно число?
Комплексните числа се дефинират чрез включването им наiтермин, който е квадратен корен от минус един. В математиката на основно ниво квадратните корени на отрицателните числа в действителност не съществуват, но от време на време се появяват в задачи по алгебра. Общата форма за комплексно число показва тяхната структура:
z = a + bi
Къдетоzобозначава комплексния номер,апредставлява произволно число (наречено „реална“ част) ибпредставлява друго число (наречено „въображаема“ част), като и двете могат да бъдат положителни или отрицателни. Примерно комплексно число е:
z = 2 −4i
Тъй като всички квадратни корени от отрицателни числа могат да бъдат представени чрез кратни наi, това е формата за всички комплексни числа. Технически редовното число просто описва специален случай на комплексно число, къдетоб= 0, така че всички числа могат да се считат за сложни.
Основни правила за алгебра със сложни числа
За да добавите и извадите сложни числа, просто добавете или извадете реалните и въображаемите части поотделно. Така че за комплексни числаz = 2 – 4iиw = 3 + 5i, сумата е:
\ начало {подравнено} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {подравнено}
Изваждането на числата работи по същия начин:
\ начало {подравнено} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {подравнено }
Умножението е друга проста операция със сложни числа, защото работи като обикновено умножение, с изключение на това, че трябва да го запомнитеi2 = −1. И така, за да изчислим 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Но тъй катоi2= -1, тогава:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
С пълни комплексни числа (използвайкиz = 2 – 4iиw = 3 + 5iотново), умножавате ги по същия начин, както бихте правили с обикновени числа като (а + б) (° С + д), използвайки метода „първи, вътрешен, външен, последен“ (FOIL), за да даде (а + б) (° С + д) = ак + пр.н.е. + обява + bd. Всичко, което трябва да запомните, е да опростите всички случаи наi2. Така например:
\ начало {подравнено} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ край {подравнено}
Разделяне на сложни числа
Разделянето на комплексни числа включва умножаване на числителя и знаменателя на фракцията по комплексния конюгат на знаменателя. Комплексният конюгат просто означава версията на комплексното число с обратната в знак въображаема част. Така че заz = 2 – 4i, комплексният конюгатz = 2 + 4i, и заw = 3 + 5i, w = 3 −5i. За проблема:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Необходимият конюгат еw*. Разделете числителя и знаменателя на това, за да получите:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
И тогава работиш както в предишния раздел. Числителят дава:
\ начало {подравнено} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ край {подравнено}
И знаменателят дава:
\ начало {подравнено} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ край {подравнено}
Това означава:
\ начало {подравнено} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {подравнено}
Опростяване на сложни числа
Използвайте горните правила, ако е необходимо, за да опростите сложни изрази. Например:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Това може да бъде опростено, като се използва правилото за събиране в числителя, правилото за умножение в знаменателя и след това завършване на делението. За числителя:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
За знаменателя:
\ начало {подравнено} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ край {подравнено}
Връщането им на място дава:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Умножаването на двете части по конюгата на знаменателя води до:
\ начало {подравнено} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {подравнено}
Това означаваzопростява, както следва:
\ начало {подравнено} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ край {подравнено}