Ако знаете две точки, които попадат върху определена експоненциална крива, можете да определите кривата, като решите общата експоненциална функция, като използвате тези точки. На практика това означава заместване на точките за y и x в уравнението y = abх. Процедурата е по-лесна, ако x-стойността за една от точките е 0, което означава, че точката е на оста y. Ако нито една точка няма нулева x-стойност, процесът за решаване на x и y е малко по-сложен.
Защо експоненциалните функции са важни
Много важни системи следват експоненциални модели на растеж и разпад. Например броят на бактериите в колонията обикновено се увеличава експоненциално, а облъчването на околната среда в атмосферата след ядрено събитие обикновено намалява експоненциално. Като вземат данни и начертават крива, учените са в по-добра позиция да правят прогнози.
От двойка точки до графика
Всяка точка на двумерна графика може да бъде представена от две числа, които обикновено се записват в формата (x, y), където x определя хоризонталното разстояние от началото, а y представлява вертикалата разстояние. Например точката (2, 3) е две единици вдясно от оста y и три единици над оста x. От друга страна, точката (-2, -3) е две единици вляво от оста y. и три единици под оста х.
Ако имате две точки, (x1, у1) и (x2, у2), можете да определите експоненциалната функция, която преминава през тези точки, като ги заместите в уравнението y = abх и решаване на a и b. Като цяло трябва да решите тази двойка уравнения:
у1 = abx1 и у2 = abx2, .
В тази форма математиката изглежда малко сложна, но изглежда по-малко, след като сте направили няколко примера.
Една точка по оста X
Ако една от x-стойностите - кажете x1 - е 0, операцията става много проста. Например, решаването на уравнението за точките (0, 2) и (2, 4) дава:
2 = ab0 и 4 = ab2. Тъй като знаем, че b0 = 1, първото уравнение става 2 = a. Заместването на а във второто уравнение дава 4 = 2b2, което опростяваме до b2 = 2 или b = квадратен корен от 2, което е равно на приблизително 1,41. Тогава определящата функция е y = 2 (1,41)х.
Нито точка на оста X
Ако нито една x-стойност не е нула, решаването на двойката уравнения е малко по-тромаво. Хенохмат ни превежда през лесен пример за изясняване на тази процедура. В неговия пример той избра двойката точки (2, 3) и (4, 27). Това дава следната двойка уравнения:
27 = ab4
3 = ab2
Ако разделите първото уравнение на второто, ще получите
9 = b2
така че b = 3. Възможно е b също да е равно на -3, но в този случай приемете, че е положително.
Можете да замените тази стойност с b във всяко уравнение, за да получите a. По-лесно е да използвате второто уравнение, така че:
3 = а (3)2 което може да бъде опростено до 3 = a9, a = 3/9 или 1/3.
Уравнението, което преминава през тези точки, може да бъде записано като y = 1/3 (3)х.
Пример от реалния свят
От 1910 г. растежът на човешкото население е експоненциален и чрез начертаване на кривата на растеж учените са в по-добра позиция да прогнозират и планират бъдещето. През 1910 г. населението на света е 1,75 млрд., А през 2010 г. е 6,87 млрд. Души. Вземайки 1910 за начална точка, това дава двойката точки (0, 1.75) и (100, 6.87). Тъй като x-стойността на първата точка е нула, лесно можем да намерим a.
1,75 = ab0 или a = 1,75. Включването на тази стойност, заедно с тези от втората точка, в общото експоненциално уравнение дава 6.87 = 1.75b100, което дава стойността на b като стотен корен от 6.87 / 1.75 или 3.93. Така уравнението става y = 1,75 (стотен корен от 3,93)х. Въпреки че е необходимо повече от правило за плъзгане, учените могат да използват това уравнение, за да проектират бъдещи популационни числа, за да помогнат на политиците в момента да създадат подходящи политики.