Независимо дали става въпрос за фигуристка, която дърпа в ръцете си и се върти по-бързо, както прави, или котка, която контролира колко бързо се върти по време на падане, за да се гарантира, че ще кацне на крака, концепцията за момент на инерция е от решаващо значение за физиката на въртенето движение.
Иначе известен като ротационна инерция, моментът на инерция е ротационният аналог на масата в втори от законите на Нютон за движение, описващ тенденцията на даден обект да се противопоставя на ъгловото ускорение.
Концепцията може да не изглежда твърде интересна в началото, но в комбинация със закона за запазване на ъгловия инерция, може да се използва за описване на много увлекателни физически явления и предсказване на движение в широк диапазон от ситуации.
Определение на момента на инерция
Моментът на инерция за даден обект описва неговата устойчивост на ъглово ускорение, като отчита разпределението на масата около оста на въртене.
Той по същество определя колко трудно е да се промени скоростта на въртене на обекта, независимо дали това означава да започне неговото въртене, да го спре или да промени скоростта на вече въртящ се обект.
Понякога се нарича ротационна инерция и е полезно да се мисли за това като аналог на масата във втория закон на Нютон:Fнето = ма. Тук масата на даден обект често се нарича инерционна маса и описва съпротивлението на обекта на (линейно) движение. Ротационната инерция работи точно така за въртеливото движение и математическата дефиниция винаги включва маса.
Еквивалентният израз на втория закон за въртеливо движение се отнасявъртящ момент (τ, въртящият се аналог на сила) до ъглово ускорениеαи момент на инерцияАз:
\ tau = I \ alpha
Същият обект обаче може да има множество инерционни моменти, тъй като докато голяма част от дефиницията е свързана с разпределението на масата, тя също така отчита местоположението на оста на въртене.
Например, докато моментът на инерция за пръчка, въртяща се около центъра му, еАз = ML2/ 12 (къдетоМе маса иLе дължината на пръта), същият прът, въртящ се около единия край, има момент на инерция, зададен отАз = ML2/3.
Уравнения за момент на инерция
Инерционният момент на тялото зависи от неговата масаМ, радиусът муRи оста на въртене.
В някои случаи,Rе посочен катод, за разстояние от оста на въртене, а в други (както при пръта в предишния раздел) се заменя с дължина,L. СимволътАзсе използва за момент на инерция и има единици kg m2.
Както може да очаквате въз основа на наученото досега, има много различни уравнения за инерционен момент и всяко се отнася до определена форма и конкретна ос на въртене. Във всички инерционни моменти терминътГ-Н2 се появява, въпреки че за различни форми има различни фракции пред този термин, а в някои случаи може да има множество термини, сумирани заедно.
TheГ-Н2 компонент е моментът на инерция за точкова маса на разстояниеRот оста на въртене и уравнението за конкретно твърдо тяло се изгражда като сбор от точкови маси или чрез интегриране на безкраен брой малки точкови маси върху обекта.
Докато в някои случаи може да е полезно да се изведе моментът на инерция на обект въз основа на проста аритметична сума от точкови маси или чрез интегрирайки, на практика има много резултати за често срещани форми и оси на въртене, които можете просто да използвате, без да е необходимо да ги извличате първо:
Плътен цилиндър (ос на симетрия):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Плътен цилиндър (ос с централен диаметър или диаметър на кръговото сечение в средата на цилиндъра):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Плътна сфера (централна ос):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Тънка сферична обвивка (централна ос):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Обръч (ос на симетрия, т.е. перпендикулярно през центъра):
I = MR ^ 2
Обръч (диаметър на оста, т.е. през диаметъра на кръга, образуван от обръча):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Прът (централна ос, перпендикулярна на дължината на пръта):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Прът (въртящ се около края):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Ротационна инерция и ос на въртене
Разбирането защо има различни уравнения за всяка ос на въртене е ключова стъпка към разбирането на концепцията за момент на инерция.
Помислете за молив: Можете да го завъртите, като го завъртите около средата, до края или като го завъртите около централната му ос. Тъй като инерцията на въртене на даден обект зависи от разпределението на масата около оста на въртене, всяка от тези ситуации е различна и изисква отделно уравнение, за да го опише.
Можете да получите инстинктивно разбиране на концепцията за момент на инерция, ако увеличите същия този аргумент до 30-футов стълб на знамето.
Превъртането му от край до край би било много трудно - ако изобщо можете да го управлявате - докато завъртането на полюса около централната му ос би било много по-лесно. Това е така, защото въртящият момент зависи силно от разстоянието от оста на въртене и от 30 фута пример за флага, въртенето му от край до край включва всеки краен край на 15 фута от оста на завъртане.
Ако обаче го завъртите около централната ос, всичко е доста близо до оста. Ситуацията прилича на носене на тежък предмет на една ръка разстояние срещу. като го държите близо до тялото си или задействате лост от края vs. близо до опорната точка.
Ето защо се нуждаете от различно уравнение, за да опишете инерционния момент за един и същ обект в зависимост от оста на въртене. Избраната от вас ос влияе на това колко далеч са частите на тялото от оста на въртене, въпреки че масата на тялото остава същата.
Използване на уравненията за момент на инерция
Ключът към изчисляването на момента на инерция за едно твърдо тяло е да се научим да използваме и прилагаме подходящите уравнения.
Помислете за молива от предишния раздел, който е завъртян от край до край около централна точка по дължината му. Въпреки че не еперфектнопръчка (заостреният връх нарушава тази форма, например), той може да бъде моделиран като такъв, за да ви спести необходимостта да преминете през пълен момент на инерционно извеждане за обекта.
Така че, моделирайки обекта като пръчка, бихте използвали следното уравнение, за да намерите момента на инерцията, комбиниран с общата маса и дължина на молива:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
По-голямо предизвикателство е намирането на момента на инерция за композитни обекти.
Например, помислете за две топки, свързани заедно с пръчка (която ние ще третираме като безмаслена, за да опростим проблема). Топка една е 2 кг и е разположена на 2 м от оста на въртене, а топка две е 5 кг по маса и на 3 м от оста на въртене.
В този случай можете да намерите момента на инерция за този композитен обект, като разгледате всяка топка като точкова маса и работите от основната дефиниция, която:
\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {align}
С индексите, просто различаващи различните обекти (т.е. топка 1 и топка 2). Тогава обектът с две топки ще има:
\ начало {подравнено} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ текст {kg} × (2 \; \ текст {m}) ^ 2 + 5 \; \ текст {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ край {подравнен}
Момент на инерция и запазване на ъгловия импулс
Ъглов момент (въртящият аналог за линеен импулс) се дефинира като произведение на въртящата се инерция (т.е. момента на инерцията,Аз) на обекта и неговата ъглова скоростω), което се измерва в градуси / s или rad / s.
Несъмнено ще сте запознати със закона за запазване на линеен импулс и ъгловият импулс също се запазва по същия начин. Уравнението за ъгловия моментL) е:
L = Iω
Мисълта за това какво означава това на практика обяснява много физически явления, тъй като (при липса на други сили), колкото по-висока е инерцията на въртене на обекта, толкова по-ниска е ъгловата му скорост.
Помислете за леден скейтър, който се върти с постоянна ъглова скорост с изпънати ръце и отбележете, че изпънатите му ръце увеличават радиусаRза което се разпределя неговата маса, което води до по-голям момент на инерция, отколкото ако ръцете му са близо до тялото.
АкоL1 се изчислява с изпънати ръце иL2, след като изтегли ръцете си, трябва да има същата стойност (тъй като ъгловият импулс е запазен), какво се случва, ако той намали своя инерционен момент, като изтегли в ръцете си? Неговата ъглова скоростωувеличава, за да компенсира.
Котките извършват подобни движения, за да им помогнат да кацнат на крака при падане.
Изпъвайки краката и опашката си, те увеличават момента на инерцията си и намаляват скоростта на въртене, и обратно, те могат да изтеглят в краката си, за да намалят момента на инерцията си и да увеличат скоростта си на въртене. Те използват тези две стратегии - заедно с други аспекти на техния „рефлекс на изправяне“ - за да гарантират, че краката им ще кацнат първо, и можете да видите отделни фази на свиване и разтягане на снимки на котка във времето кацане.
Момент на инерция и ротационна кинетична енергия
Продължавайки паралелите между линейното движение и въртеливото движение, обектите също имат ротационна кинетична енергия по същия начин, по който имат линейна кинетична енергия.
Помислете за топка, която се търкаля по земята, като се върти около централната си ос и се движи напред по линеен начин: Общата кинетична енергия на топката е сумата от нейната линейна кинетична енергияЕ.к и нейната ротационна кинетична енергияЕ.гниене. Паралелите между тези две енергии се отразяват в уравненията за двете, като се помни, че обектът инерционният момент е ротационен аналог на масата, а ъгловата му скорост е ротационен аналог на линейната скоростv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Ясно можете да видите, че и двете уравнения имат абсолютно една и съща форма, като подходящите ротационни аналози са заместени за уравнението на ротационната кинетична енергия.
Разбира се, за да изчислите ротационната кинетична енергия, ще трябва да замените подходящия израз за момента на инерцията на обекта в пространството заАз. Разглеждайки топката и моделирайки обекта като твърда сфера, уравнението е, че този случай е:
\ начало {подравнено} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ край {подравнен}
Общата кинетична енергия (Е.общо) е сумата от това и кинетичната енергия на топката, така че можете да напишете:
\ начало {подравнено} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { подравнен}
За 1-килограмова топка, движеща се с линейна скорост 2 m / s, с радиус 0,3 m и с ъглова скорост 2π rad / s, общата енергия ще бъде:
\ начало {подравнено} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ текст {kg} × (2 \; \ текст {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ текст {kg} × (0,3 \; \ текст {m}) ^ 2 × (2π \; \ текст {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ текст {J} + 0,71 \; \ текст {J} \\ & = 2,71 \; \ текст {J} \ end {подравнено}
В зависимост от ситуацията обектът може да притежава само линейна кинетична енергия (например топка, изпусната от височина без придадено въртене) или само въртяща се кинетична енергия (топка, която се върти, но остава на място).
Не забравяйте, че е такаобща сумаенергия, която е запазена. Ако една топка се рита по стена без първоначално въртене и тя се отскача с по-ниска скорост, но с предадено завъртане, както и енергията загубена от звук и топлина, когато е осъществила контакт, част от първоначалната кинетична енергия е прехвърлена към ротационна кинетична енергия и така тяне можеевентуално се движете толкова бързо, колкото преди да отскочите.