Понякога е необходимо да се намери ненулев вектор, който, умножен по квадратна матрица, ще ни върне кратно на вектора. Този ненулев вектор се нарича „собствен вектор“. Собствените вектори представляват интерес не само за математиците, но и за други в професии като физика и инженерство. За да ги изчислите, ще трябва да разберете матричната алгебра и детерминанти.
Научете и разберете дефиницията на „собствен вектор“. Намира се за n x n квадратна матрица A, а също и a скаларна собствена стойност, наречена "ламбда". Ламбда е представена от гръцката буква, но тук ще я съкратим на L. Ако има ненулев вектор x, където Ax = Lx, този вектор x се нарича "собствена стойност на А."
Намерете собствените стойности на матрицата, като използвате характеристичното уравнение det (A - LI) = 0. "Det" означава детерминанта, а "I" е матрицата на идентичността.
Изчислете собствения вектор за всяка собствена стойност, като намерите собствено пространство E (L), което е нулевото пространство на характеристичното уравнение. Ненулевите вектори на E (L) са собствените вектори на A. Те се намират чрез включване на собствените вектори обратно в характерната матрица и намиране на основа за A - LI = 0.
Изчислете собствените стойности с помощта на характеристичното уравнение. Det (A - LI) е (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, което е характерният полином. Решаването на това алгебрично ни дава L1 = 4 и L2 = 2, които са собствените стойности на нашата матрица.
Намерете собствения вектор за L = 4, като изчислите нулевото пространство. Направете това, като поставите L1 = 4 в характеристичната матрица и намерите основата за A - 4I = 0. Решавайки това, намираме x - y = 0 или x = y. Това има само едно независимо решение, тъй като те са равни, като x = y = 1. Следователно, v1 = (1,1) е собствен вектор, който обхваща собственото пространство на L1 = 4.
Повторете стъпка 6, за да намерите собствения вектор за L2 = 2. Намираме x + y = 0 или x = --y. Това също има едно независимо решение, да речем x = --1 и y = 1. Следователно v2 = (--1,1) е собствен вектор, който обхваща собственото пространство на L2 = 2.