Овладяването на концепциите за синус и косинус е неразделна част от тригонометрията. Но след като имате тези идеи под колана си, те се превръщат в градивни елементи за други полезни инструменти в тригонометрията и по-късно смятането. Например "законът на косинусите" е специална формула, която можете да използвате, за да намерите липсващата страна на триъгълник, ако знаете дължината на другите две страни плюс ъгъла между тях или за намиране на ъглите на триъгълник, когато знаете и трите страни.
Законът на косинусите
Законът за косинусите се предлага в няколко версии, в зависимост от ъглите или страните на триъгълника, с които имате работа:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Във всеки случай,а, би° Сса страните на триъгълник иA, Б., или° Се ъгълът срещу страната на същата буква. ТакаAе ъгълът от противоположната странаа, Бе ъгълът от противоположната странаб, и° Се ъгълът от противоположната страна
° С. Това е формата на уравнението, което използвате, ако намирате дължината на една от страните на триъгълника.Законът на косинусите може да бъде пренаписан и във версии, които улесняват намирането на който и да е от трите ъгъла на триъгълника, ако приемем, че знаете дължините на трите страни на триъгълника:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Решаване за страна
За да използвате закона на косинусите за решаване на страната на триъгълника, ви трябват три части информация: дължините на другите две страни на триъгълника плюс ъгъла между тях. Изберете версията на формулата, където страната, която искате да намерите, е отляво на уравнението, а информацията, която вече имате, е отдясно. Така че, ако искате да намерите дължината на странатаа, бихте използвали версията
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Заместете стойностите на двете известни страни и ъгъла между тях във формулата. Ако вашият триъгълник има познати страниби° Скоито измерват съответно 5 единици и 6 единици, а ъгълът между тях е 60 градуса (което също може да бъде изразено в радиани като π / 3), ще имате:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Използвайте таблица или вашия калкулатор, за да потърсите стойността на косинуса; в този случай, cos (60) = 0,5, което ви дава уравнението:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Опростете резултата от стъпка 2. Това ви дава:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Което от своя страна опростява до:
a ^ 2 = 31
Вземете квадратния корен от двете страни, за да завършите решаванетоа. Това ви оставя с:
a = \ sqrt {31}
Въпреки че бихте могли да използвате диаграма или калкулатор, за да изчислите стойността на 31 (това е 5.568), често ще ви бъде позволено - и дори насърчавано - да оставите отговора в по-точната му радикална форма.
Решаване на ъгъл
Можете да приложите същия процес, за да намерите някой от ъглите на триъгълника, ако знаете и трите му страни. Този път ще изберете версията на формулата, която поставя липсващия или "не го знам" ъгъл от лявата страна на знака за равенство. Представете си, че искате да намерите мярката на ъгъл C (който, не забравяйте, се определя като ъгълът от противоположната страна° С). Бихте използвали тази версия на формулата:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Заменете известните стойности - в този тип задачи, което означава дължините и на трите страни на триъгълника - в уравнението. Като пример, нека страните на вашия триъгълник бъдата= 3 единици,б= 4 единици и° С= 25 единици. Така вашето уравнение става:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
След като опростите полученото уравнение, ще имате:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
или просто cos (° С) = 0.
Изчислете обратния косинус или дъговия косинус от 0, често отбелязан като cos-1(0). Или, с други думи, кой ъгъл има косинус 0? Всъщност има два ъгъла, които връщат тази стойност: 90 градуса и 270 градуса. Но по дефиниция знаете, че всеки ъгъл в триъгълник трябва да е по-малък от 180 градуса, така че това остава само 90 градуса като опция.
Така че мярката на липсващия ви ъгъл е 90 градуса, което означава, че случайно имате работа с правоъгълен триъгълник, въпреки че този метод работи и с неправоъгълни триъгълници.