Повечето хора си спомнятПитагорова теоремаот начинаеща геометрия - това е класика. Това е
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
къдетоа, би° Сса страните на правоъгълен триъгълник (° Се хипотенузата). Е, тази теорема може да бъде пренаписана и за тригонометрия!
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Питагоровите идентичности са уравнения, които пишат Питагоровата теорема от гледна точка на триъгълните функции.
ОсновнотоПитагорейски идентичностиса:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ детско легло ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Питагорейските идентичности са примери затригонометрични идентичности: равенства (уравнения), които използват тригонометрични функции.
Защо има значение?
Питагоровите идентичности могат да бъдат много полезни за опростяване на сложни тригонни твърдения и уравнения. Запомнете ги сега и можете да си спестите много време по пътя!
Доказателство с използване на дефинициите на триг функциите
Тези идентичности са доста лесни за доказване, ако мислите за дефинициите на триг функциите. Например, нека докажем това
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Не забравяйте, че определението за синус е противоположната страна / хипотенуза, а косинусът е съседна страна / хипотенуза.
Така
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {отсреща} ^ 2} {\ text {хипотенуза} ^ 2}
И
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {съседен} ^ 2} {\ text {хипотенуза} ^ 2}
Можете лесно да добавите тези две заедно, защото знаменателите са еднакви.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {отсреща} ^ 2 + \ text {съседен} ^ 2} {\ text {хипотенуза} ^ 2}
Сега погледнете още веднъж питагорейската теорема. Пише товаа2 + б2 = ° С2. Имайте предвид товааибзастанете за противоположните и съседните страни, и° Созначава хипотенуза.
Можете да пренаредите уравнението, като разделите двете страни на° С2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Ота2 иб2 са противоположните и съседните страни и° С2 е хипотенузата, имате еквивалентно твърдение на горното, с (обратното2 + съседни2) / хипотенуза2. И благодарение на работата са, б, ° Си питагорейската теорема, вече можете да видите това твърдение е равно на 1!
Така
\ frac {\ text {отсреща} ^ 2 + \ text {съседен} ^ 2} {\ text {хипотенуза} ^ 2} = 1
и следователно:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(И по-добре е да го напишете правилно: грях2(θ) + cos2(θ) = 1).
Взаимните идентичности
Нека прекараме няколко минути в разглеждане нареципрочни идентичностикакто добре. Не забравяйте, череципрочене един, разделен на ("над") вашия номер - известен също като обратното.
Тъй като косекантът е реципрочен на синус:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Можете също така да помислите за косекант, като използвате определението за синус. Например, синус = противоположна страна / хипотенуза. Обратното на това ще бъде фракцията, обърната с главата надолу, която е хипотенуза / противоположна страна.
По същия начин реципрочната стойност на косинуса е секунда, така че се определя като
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {или} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {съседна страна}}
И реципрочната на тангента е котангенс, така че
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {съседна страна}} {\ text {противоположна страна}}
Доказателствата за питагорейските идентичности, използващи секанс и косекант, са много подобни на тези за синус и косинус. Можете също така да извлечете уравненията, използвайки уравнението "родител", sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Разделете двете страни на cos2(θ), за да получите самоличността 1 + тен2(θ) = сек2(θ). Разделете и двете страни по грях2(θ), за да получите самоличността 1 + детско креватче2(θ) = csc2(θ).
Успех и не забравяйте да запомните трите питагорейски идентичности!