Точно както в алгебрата, когато започнете да изучавате тригонометрия, ще натрупате набори от формули, които са полезни за решаване на проблеми. Един такъв набор са полуъгълните идентичности, които можете да използвате за две цели. Едната е да се преобразуват тригонометрични функции на (θ/ 2) във функции по отношение на по-познатите (и по-лесно манипулираните)θ. Другото е да се намери действителната стойност на тригонометричните функции наθ, когаθможе да се изрази като половината от по-познат ъгъл.
Преглед на полуъгълните идентичности
Много учебници по математика ще изброят четири основни идентичности с половин ъгъл. Но чрез прилагане на комбинация от алгебра и тригонометрия, тези уравнения могат да бъдат масажирани в редица полезни форми. Не е задължително да запомните всичко това (освен ако вашият учител не настоява), но поне трябва да разберете как да ги използвате:
Полуъгълна идентичност за синус
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Идентичност с половин ъгъл за косинус
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Полуъгълни идентичности за тангента
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Полуъгълни идентичности за котангента
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ детско легло \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ детско легло \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Пример за използване на полуъгълни идентичности
И така, как използвате идентичности с половин ъгъл? Първата стъпка е да осъзнаете, че имате работа с ъгъл, който е половината от по-познатия ъгъл.
- Квадрант I: всички триг функции
- Квадрант II: само синус и косеканс
- Квадрант III: само тангенс и котангенс
- Квадрант IV: само косинус и секунда
представете си, че сте помолени да намерите синуса на ъгъла 15 градуса. Това не е един от ъглите, за които повечето ученици ще запомнят стойностите на триг функциите. Но ако оставите 15 градуса да бъдат равни на θ / 2 и след това решите за θ, ще откриете, че:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Тъй като полученото θ, 30 градуса, е по-познат ъгъл, използването на формулата за половин ъгъл тук ще бъде полезно.
Тъй като сте били помолени да намерите синуса, наистина има само една формула с половин ъгъл, от която можете да избирате:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Заместване вθ/ 2 = 15 градуса иθ= 30 градуса ви дава:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Ако сте били помолени да намерите тангенса или котангенса, и двете от които наполовина умножават начините за изразяване на тяхната полуъгълна идентичност, просто ще изберете версията, която изглежда най-лесна за работа.
Знакът ± в началото на някои полуъгълни идентичности означава, че въпросният корен може да бъде положителен или отрицателен. Можете да разрешите тази неяснота, като използвате знанията си за тригонометричните функции в квадрантите. Ето кратко обобщение на това кои триг функции се връщатположителенстойности, в които квадранти:
Тъй като в този случай вашият ъгъл θ представлява 30 градуса, което попада в квадрант I, знаете, че синусовата стойност, която той връща, ще бъде положителна. Така че можете да пуснете знака ± и просто да оцените:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Заместете в познатата, известна стойност на cos (30). В този случай използвайте точните стойности (за разлика от десетичните приближения от диаграма):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
След това опростете дясната страна на уравнението си, за да намерите стойност за греха (15). Започнете с умножаване на израза под радикала по 2/2, което ви дава:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Това опростява до:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
След това можете да изчислите квадратния корен от 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
В повечето случаи това е доколкото бихте опростили. Въпреки че резултатът може да не е ужасно хубав, вие сте превели синуса на непознат ъгъл в точно количество.