Алгебрата е пълна с повтарящи се модели, които бихте могли да изработите чрез аритметика всеки път. Но тъй като тези модели са толкова често срещани, обикновено има някаква формула, която да улесни изчисленията. Кубът на двучлен е чудесен пример: Ако трябваше да го обработвате всеки път, щяхте да отделите много време, за да се мъчите върху молив и хартия. Но след като знаете формулата за решаване на този куб (и няколко полезни трика за запомнянето му), намирането на вашия отговор е толкова просто, колкото включването на правилните термини в правилните променливи слотове.
TL; DR (твърде дълго; Не прочетох)
Формулата за куба на бином (а + б) е:
(а + б)3 = а3 + 3_a_2б + 3_ab_2 + б3
Изчисляване на куба на двучлен
Няма нужда да се паникьосвате, когато видите проблем като (a + b)3 пред теб. След като го разделите на познатите му компоненти, той ще започне да изглежда като по-познати математически задачи, които сте правили преди.
В този случай помага да се запомни това
(a + b)3
е същото като
(a + b) (a + b) (a + b), което трябва да изглежда много по-познато.
Но вместо да изчислявате математиката всеки път от нулата, можете да използвате „пряк път“ на формула, която представлява отговора, който ще получите. Ето формулата за куба на бином:
(a + b)3 = a3 + 3а2b + 3ab2 + b3
За да използвате формулата, определете кои числа (или променливи) заемат слотовете за "а" и "b" от лявата страна на уравнение, след това заменете същите числа (или променливи) в слотовете "a" и "b" от дясната страна на формула.
Пример 1: Решете (x + 5)3
Както виждаш, х заема слота "a" в лявата част на формулата ви, а 5 заема слота "b". Заместване х и 5 в дясната страна на формулата ви дава:
х3 + 3x25 + 3x52 + 53
Малко опростяване ви приближава до отговор:
х3 + 3 (5) x2 + 3 (25) x + 125
И накрая, след като сте опростили колкото можете:
х3 + 15x2 + 75x + 125
Ами изваждането?
Не е необходима различна формула за решаване на проблем като (y - 3)3. Ако си спомняте това y - 3 е същото като y + (-3), можете просто да пренапишете проблема в [y + (-3)]3 и го решете с помощта на познатата формула.
Пример 2: Решете (y - 3)3
Както вече беше обсъдено, първата ви стъпка е да пренапишете проблема [y + (-3)]3.
След това запомнете формулата си за куба на бином:
(a + b)3 = a3 + 3а2b + 3ab2 + b3
Във вашия проблем, у заема слота "a" от лявата страна на уравнението, а -3 заема слота "b". Заместете тези в подходящите слотове от дясната страна на уравнението, като внимавате със скобите си да запазите отрицателния знак пред -3. Това ви дава:
у3 + 3г2(-3) + 3y (-3)2 + (-3)3
Сега е време да опростим. Отново обърнете внимание на този отрицателен знак, когато прилагате експоненти:
у3 + 3 (-3) y2 + 3 (9) y + (-27)
Още един кръг на опростяване ви дава вашия отговор:
у3 - 9г2 + 27г - 27
Внимавайте за сумата и разликата в кубчетата
Винаги внимателно обръщайте внимание на това къде са експонентите във вашия проблем. Ако видите проблем във формуляра (a + b)3, или [a + (-b)]3, тогава формулата, която се обсъжда тук, е подходяща. Но ако проблемът ви изглежда така (а3 + b3) или (а3 - б3), това не е кубът на бином. Това е сумата от кубчета (в първия случай) или разликата от кубчета (във втория случай), като в този случай прилагате една от следните формули:
(а3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(а3 - б3) = (a - b) (a2 + ab + b2)