Как да намерим dy / dx чрез неявна диференциация, като се има подобно уравнение като y = sin (xy)

Имплицитната диференциация е техника, която се използва за определяне на производната на функция под формата y = f (x).

За да научим как да използваме неявна диференциация, можем да използваме метода на прост пример и след това да изследваме някои по-сложни случаи.

Макар да звучи по-сложно, имплицитната диференциация използва всички същите математика и умения като основна диференциация. Важното е да се отбележи обаче, че нашата зависима променлива сега се показва в самата функция.

Вземете просто уравнение като xy = 1. Има два начина за намиране на производната на у с уважение до х, или dy / dx. Първо, можем просто да решим за у в уравнението и използвайте правилото за степента за производни. Това би довело до: y = 1 / x. Следователно прилагането на правилото за мощност би разкрило, че dy / dx = -1 / x².

Можем да направим и този проблем, като използваме неявна диференциация. За щастие вече знаем отговора (той трябва да бъде един и същ, независимо от това как го изчисляваме), така че можем да проверим работата си!

За начало приложете производната към двете страни на уравнението xy = 1. Тогава d / dx (xy) = d / dx (1); ясно дясната страна вече е равна на 0, но лявата страна изисква правилото на веригата. Това е така, защото ние приемаме производната на нашата функция, у, докато се умножава по друг фактор от х. За да се изчисли това: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Ще използваме основната нотация, за да посочим производна по отношение на х.

Пренаписването на нашето уравнение дава: y + xy '= 0. Време е да се реши за ти в нашето уравнение! Ясно е, че y '= -y / x. Но използвайки оригиналната информация, знаем, че y = 1 / x, така че можем да заместим това обратно. След като направим това, виждаме, че y '= -1 / x², точно както открихме преди.

За да определим производната на y = sin (xy), ще използваме неявна диференциация, като си спомним, че (d / dx) y = y '.

Първо, приложете производната към двете страни на уравнението: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Лявата страна на уравнението е ясно ти, за което ще трябва да решим, но дясната страна ще изисква малко работа; по-специално, правилото за веригата и правилото за продукта. Първо, правилото на веригата трябва да се приложи към sin (xy), а след това правилото на продукта за аргумента xy. За щастие вече изчислихме това правило за продукта.

След това опростяването на това дава: y '= cos (xy) (y + xy').

Ясно е, че това уравнение трябва да бъде решено за ти за да се определи как ти е свързано с х и у.

Изолирайте всички термини с ти от едната страна: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

След това факторирайте ти за да получите: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Сега виждаме, че y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

По-нататъшно опростяване може да бъде необходимо, но тъй като нашата функция е рекурсивно дефинирана, включването y = sin (xy) вероятно няма да даде задоволително решение. В този случай може да бъде полезна повече информация или по-сложен метод за начертаване на тези уравнения.

Първо, не забравяйте, че неявната диференциация разчита на една от променливите, която е функция на другата. Обикновено виждаме функциите като y = f (x), но може да се напише функция x = f (y). Бъдете внимателни, когато подхождате към тези проблеми, за да определите коя променлива зависи от другата.

След това не забравяйте внимателно да прилагате производни правила. Явната диференциация ще изисква правилото на веригата много често, както и правилото за продукта и коефициента. Правилното прилагане на тези методи ще бъде от съществено значение за определяне на окончателния отговор.

И накрая, решете желаната производна, като я изолирате и максимално опростите изразите.