Закони на движението на махалото

Махалата имат интересни свойства, които физиците използват за описване на други обекти. Например планетарната орбита следва подобен модел и люлеенето на люлка може да се почувства сякаш сте на махало. Тези свойства произтичат от поредица закони, които управляват движението на махалото. Изучавайки тези закони, можете да започнете да разбирате някои от основните положения на физиката и на движението като цяло.

Движението на махалото може да бъде описано с помощта на

в койтоθпредставлява ъгъла между низа и вертикалната линия надолу по центъра,Tпредставлява времето иTе периодът, времето, необходимо за настъпването на един пълен цикъл от движението на махалото (измерено чрез1 / е), на движението за махало.

​Обикновено хармонично движение, или движение, което описва как скоростта на обекта колебае пропорционално на размера на изместване от равновесие, може да се използва за описване на уравнението на махало. Люлеенето на махалото на махалото се поддържа в движение от тази сила, действаща върху него, докато се движи напред-назад.

•••Syed Hussain Ather

Законите, които управляват движението на махалото, доведоха до откриването на важно свойство. Физиците разбиват силите на вертикален и хоризонтален компонент. В движение на махалото,три сили работят директно върху махалото: масата на качулката, гравитацията и напрежението в струната. Масата и гравитацията работят вертикално надолу. Тъй като махалото не се движи нагоре или надолу, вертикалният компонент на опъването на струната отменя масата и гравитацията.

Това показва, че масата на махалото няма отношение към неговото движение, но хоризонталното напрежение на струната има. Обикновеното хармонично движение е подобно на кръговото. Можете да опишете обект, движещ се по кръгова пътека, както е показано на фигурата по-горе, като определите ъгъла и радиуса, които отнема в съответната му кръгова пътека. След това, използвайки тригонометрията на правоъгълния триъгълник между центъра на кръга, позицията на обекта и изместването в двете посоки x и y, можете да намерите уравненияx = rsin (θ)иy = rcos (θ).​

Едномерното уравнение на обект в просто хармонично движение се дава отx = r cos (ωt).Можете допълнително да заменитеAзаrв койтоAеамплитуда, максималното изместване от първоначалното положение на обекта.

Ъгловата скоростωпо отношение на времетоTза тези ъглиθсе дава отθ = ωt. Ако замените уравнението, което свързва ъгловата скорост с честотатае​, ​ω = 2​​πf, можете да си представите това кръгово движение, след това, като част от махало, люлеещо се напред и назад, тогава полученото просто уравнение на хармонично движение е

•••Syed Hussain Ather

Махалата, като маси на извор, са примери запрости хармонични осцилатори: Има възстановяваща сила, която се увеличава в зависимост от това колко е изместено махалото и тяхното движение може да бъде описано с помощта напросто уравнение на хармоничен осцилатор​

в койтоθпредставлява ъгъла между низа и вертикалната линия надолу по центъра,Tпредставлява времето иTеПериод, времето, необходимо за настъпване на един пълен цикъл от движението на махалото (измерено чрез1 / е), на движението за махало.

​θ_максе друг начин за определяне на максималния ъгъл, който колебае по време на движението на махалото и е друг начин за определяне на амплитудата на махалото. Тази стъпка е обяснена по-долу в раздела "Определение на просто махало".

Друго значение на законите на обикновено махало е, че периодът на трептене с постоянна дължина е независим от размера, формата, масата и материала на обекта в края на струната. Това е показано ясно чрез простото извеждане на махало и уравненията, които произтичат.

Можете да определите уравнението за aпросто махало, дефиницията, която зависи от обикновен хармоничен осцилатор, от поредица стъпки, започващи с уравнението на движението на махало. Тъй като силата на гравитацията на махалото е равна на силата на движението на махалото, можете да ги настроите да бъдат равни една на друга, като използвате втория закон на Нютон с маса на махалотоМ, дължина на низаL, ъгълθ,гравитационно ускорениежи интервал от времеT​.

•••Syed Hussain Ather

Поставяте втория закон на Нютон, равен на момента на инерциятаI = г-н²за някаква масами радиус на кръговото движение (в този случай дължината на струната)rумножено по ъгловото ускорениеα​.

1. ​ΣF = Ma: Вторият закон на Нютон гласи, че нетната силаΣFвърху обект е равна на масата на обекта, умножена по ускорение.
2. ​Ma = I α: Това ви позволява да зададете силата на гравитационното ускорение (-Mg sin (θ) L)равна на силата на въртенето
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I α​: Можете да получите посоката на вертикалната сила поради гравитацията (-Мг) чрез изчисляване на ускорението катогрях (θ) Lакоsin (θ) = d / Lза известно хоризонтално изместванеди ъгълθ​ да отчита посоката.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Замествате уравнението за инерционен момент на въртящо се тяло, като използвате дължина на струната L като радиус.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​д²θ / dt: Отчетете ъгловото ускорение, като замените второто производно на ъгъла по отношение на времето заα.Тази стъпка изисква смятане и диференциални уравнения.
   
6. ​д²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Можете да получите това чрез пренареждане на двете страни на уравнението
   
7. ​д²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Можете да приблизителногрях (θ)катоθза целите на обикновено махало при много малки ъгли на трептене
   
8. ​θ (t) = θ_максcos (t (L / g)²): Уравнението на движението има това решение. Можете да го проверите, като вземете второто производно на това уравнение и работите, за да получите стъпка 7.

Има и други начини за просто извличане на махало. Разберете значението на всяка стъпка, за да видите как са свързани. Можете да опишете просто движение на махалото, като използвате тези теории, но трябва да вземете предвид и други фактори, които могат да повлияят на простата теория на махалото.

Ако сравните резултата от това извеждане

към уравнението на обикновен хармоничен осцилаторбy като ги зададете равни една на друга, можете да извлечете уравнение за периода T:

Забележете, че това уравнение не зависи от масатаМна махалото, амплитудатаθ_макс, нито по времеT. Това означава, че периодът не зависи от масата, амплитудата и времето, но вместо това разчита на дължината на низа. Това ви дава кратък начин за изразяване на движението на махалото.

С уравнението за период можете да пренаредите уравнението, за да се получи

и заменете 1 сек заTи9,8 m / s²зажпридобивамL =0,0025 м. Имайте предвид, че тези уравнения на простата теория на махалото приемат, че дължината на струната е без триене и без маса. За да се вземат предвид тези фактори, ще са необходими по-сложни уравнения.

Можете да издърпате задния ъгъл на махалотоθда го оставя да се люлее напред-назад, за да го види, че трепне точно като пролетта. За обикновено махало можете да го опишете с помощта на уравнения на движението на обикновен хармоничен осцилатор. Уравнението на движение работи добре при по-малки стойности на ъгъла иамплитуда, максималният ъгъл, тъй като простият модел на махалото разчита на апроксимацията, чегрях (θ)​ ≈ ​θза някакъв ъгъл на махалотоθ.Тъй като ъглите и амплитудите на стойностите стават по-големи от около 20 градуса, това приближение също не работи.

Изпробвайте сами. Махало, люлеещо се с голям начален ъгълθняма да вибрира толкова редовно, че да ви позволи да използвате обикновен хармоничен осцилатор, за да го опишете. При по-малък начален ъгълθ, махалото се приближава много по-лесно до едно правилно, трептящо движение. Тъй като масата на махалото няма отношение към движението му, физиците са доказали, че всички махала имат един и същ период на трептене ъгли - ъгълът между центъра на махалото в най-високата му точка и центъра на махалото в спрялото му положение - по-малко от 20 градуса.

За всички практически цели на едно махало в движение, махалото в крайна сметка ще се забави и ще спре поради триене между струната и закрепената й точка отгоре, както и поради въздушното съпротивление между махалото и въздуха около него.

За практически примери за движение на махалото периодът и скоростта ще зависят от вида на използвания материал, който би причинил тези примери за триене и въздушно съпротивление. Ако извършите изчисления на теоретичното колебателно поведение на махалото, без да отчитате тези сили, то то ще отчете махалото, осцилиращо безкрайно.

Първият закон на Нютон определя скоростта на обектите в отговор на силите. Законът гласи, че ако даден обект се движи с определена скорост и по права линия, той ще продължи да се движи с тази скорост и по права линия, безкрайно, докато върху него не действа друга сила. Представете си, че хвърляте топка право напред - топката ще обикаля земята отново и отново, ако въздушното съпротивление и гравитацията не действат върху нея. Този закон показва, че тъй като махалото се движи встрани, а не нагоре и надолу, върху него не действат сили нагоре и надолу.

Вторият закон на Нютон се използва при определяне на нетната сила върху махалото чрез задаване на гравитационната сила, равна на силата на струната, която се изтегля обратно върху махалото. Задаването на тези уравнения еднакви помежду ви позволява да изведете уравненията на движението на махалото.

Третият закон на Нютон гласи, че всяко действие има реакция с еднаква сила. Този закон работи с първия закон, който показва, че въпреки че масата и гравитацията отменят вертикалната компонента на вектора на опън на струната, нищо не отменя хоризонталната компонента. Този закон показва, че силите, действащи върху махало, могат да се отменят взаимно.

Физиците използват първия, втория и третия закон на Нютон, за да докажат, че хоризонталното напрежение на струните движи махалото без оглед на масата или гравитацията. Законите на едно просто махало следват идеите на трите закона на движение на Нютон.