يمكنك النظر إلى العلاقات العكسية في الرياضيات بثلاث طرق. الطريقة الأولى هي النظر في العمليات التي تلغي بعضها البعض. الجمع والطرح هما العمليتان الأكثر وضوحًا التي تتصرف بهذه الطريقة.
الطريقة الثانية للنظر إلى العلاقات العكسية هي النظر في نوع المنحنيات التي تنتجها عند رسم العلاقات بين متغيرين. إذا كانت العلاقة بين المتغيرات مباشرة ، فإن المتغير التابع يزيد عند زيادة المتغير المستقل ، ومنحنيات الرسم البياني نحو زيادة قيم كلا المتغيرين. ومع ذلك ، إذا كانت العلاقة عكسية ، فإن المتغير التابع يصبح أصغر عندما يزيد المتغير المستقل ، وينحني الرسم البياني نحو القيم الأصغر للمتغير التابع.
توفر أزواج معينة من الوظائف مثالًا ثالثًا للعلاقات العكسية. عندما تقوم برسم وظائف معكوسة لبعضها البعض على المحور x-y ، تظهر المنحنيات كصور معكوسة لبعضها البعض بالنسبة للخط x = y.
العمليات الحسابية المعكوسة
الجمع هو أبسط العمليات الحسابية ، ويأتي مع التوأم الشرير - الطرح - الذي يمكنه التراجع عن ما يفعله. لنفترض أنك بدأت بالرقم 5 وأضفت 7. تحصل على 12 ، لكن إذا طرحت 7 ، فسيتبقى لك الرقم 5 الذي بدأت به. معكوس الجمع هو الطرح ، والنتيجة الصافية لجمع وطرح نفس الرقم تعادل إضافة 0.
توجد علاقة عكسية مماثلة بين الضرب والقسمة. النتيجة الصافية لضرب رقم وقسمته على نفس العامل هو ضرب الرقم في 1 ، مما يتركه دون تغيير. هذه العلاقة العكسية مفيدة عند تبسيط التعبيرات الجبرية المعقدة وحل المعادلات.
زوج آخر من العمليات الحسابية المعكوسة هو رفع رقم إلى أس "ن"وأخذنجذر الرقم. العلاقة المربعة هي الأسهل في الاعتبار. إذا تربعت 2 ، تحصل على 4 ، وإذا أخذت الجذر التربيعي لـ 4 ، تحصل على 2. من المفيد أيضًا تذكر هذه العلاقة العكسية عند حل المعادلات المعقدة.
يمكن أن تكون الوظائف معكوسة أو مباشرة
الوظيفة هي قاعدة تنتج نتيجة واحدة ، وواحدة فقط ، لكل رقم تقوم بإدخاله. تسمى مجموعة الأرقام التي تدخلها مجال الوظيفة ، ومجموعة النتائج التي تنتجها الوظيفة هي النطاق. إذا كانت الوظيفة مباشرة ، فإن تسلسل المجال من الأرقام الموجبة التي تكبر ينتج سلسلة من الأرقام التي تزداد أيضًا.
f (x) = 2x + 2، f (x) = x ^ 2 \ text {and} f (x) = \ sqrt {x}
كلها وظائف مباشرة.
تعمل الدالة العكسية بطريقة مختلفة. عندما تصبح الأرقام في المجال أكبر ، تصبح الأرقام في النطاق أصغر.
و (س) = \ فارك {1} {س}
هي أبسط صورة للدالة العكسية. كلما زاد حجم x ، زادت f (x) يقترب أكثر فأكثر من 0. في الأساس ، أي دالة مع متغير الإدخال في مقام كسر ، وفقط في المقام ، هي وظيفة عكسية. تشمل الأمثلة الأخرى
و (س) = \ فارك {n} {س}
أيننهو أي رقم ،
f (x) = \ frac {n} {\ sqrt {x}}
و
و (س) = \ فارك {n} {س + ث}
أينثهو أي عدد صحيح.
يمكن أن يكون لدالتين علاقة عكسية مع بعضهما البعض
المثال الثالث للعلاقة العكسية في الرياضيات هو زوج من الدوال المعكوسة لبعضها البعض. كمثال ، افترض أنك أدخلت الأرقام 2 و 3 و 4 و 5 في الوظيفة
ص = 2 س + 1
تحصل على هذه النقاط: (2،5) ، (3،7) ، (4،9) و (5،11). هذا خط مستقيم بميله 2 وذ- التقاطع 1.
الآن قم بعكس الأرقام الموجودة بين قوسين لإنشاء دالة جديدة: (5،2) ، (7،3) ، (9،4) و (11،5). يصبح نطاق الوظيفة الأصلية مجال الوظيفة الجديدة ويصبح مجال الوظيفة الأصلية نطاق الوظيفة الجديدة. إنه أيضًا خط مستقيم ، لكن ميله هو 1/2 وميلهذ- التقاطع هو −1/2. باستخدام
ص = م س + ب
على شكل خط ، تجد معادلة الخط المستقيم
ص = \ فارك {1} {2} (س - 1)
هذا هو معكوس الوظيفة الأصلية. يمكنك اشتقاقه بنفس السهولة عن طريق التبديلxوذفي الوظيفة الأصلية وتبسيطها للحصول علىذبمفرده على يسار علامة التساوي.