تسمى جذور كثير الحدود أيضًا أصفارها ، لأن الجذور هيxالقيم التي تساوي عندها الدالة صفرًا. عندما يتعلق الأمر بالعثور على الجذور فعليًا ، لديك تقنيات متعددة تحت تصرفك ؛ العوملة هي الطريقة التي ستستخدمها كثيرًا ، على الرغم من أن الرسوم البيانية يمكن أن تكون مفيدة أيضًا.
كم عدد الجذور؟
افحص الحد الأعلى من الدرجة في كثير الحدود - أي المصطلح ذو الأس الأعلى. هذا الأس هو عدد الجذور التي سيكون لها كثير الحدود. لذا إذا كان الأس الأعلى في كثير الحدود هو 2 ، فسيكون له جذرين ؛ إذا كان الأس الأكبر هو 3 ، فسيكون له ثلاثة جذور ؛ وما إلى ذلك وهلم جرا.
تحذيرات
-
هناك مشكلة: يمكن أن تكون جذور كثير الحدود حقيقية أو وهمية. الجذور "الحقيقية" هي أعضاء في المجموعة المعروفة بالأرقام الحقيقية ، والتي في هذه المرحلة من مسيرتك في الرياضيات هي كل رقم اعتدت التعامل معه. يعد إتقان الأرقام التخيلية موضوعًا مختلفًا تمامًا ، لذلك في الوقت الحالي ، فقط تذكر ثلاثة أشياء:
- تظهر الجذور "التخيلية" عندما يكون لديك الجذر التربيعي لعدد سالب. على سبيل المثال ، √ (-9).
- تأتي الجذور الخيالية دائمًا في أزواج.
- يمكن أن تكون جذور كثير الحدود حقيقية أو خيالية. لذا إذا كان لديك كثير حدود من الدرجة الخامسة ، فقد يكون لها خمسة جذور حقيقية ، وقد يكون لها ثلاثة جذور حقيقية وجذران وهميان ، وهكذا.
البحث عن الجذور عن طريق التحليل: مثال 1
الطريقة الأكثر تنوعًا لإيجاد الجذور هي تحليل كثير الحدود بقدر الإمكان ، ثم ضبط كل حد على صفر. يصبح هذا أكثر منطقية بمجرد اتباع بعض الأمثلة. ضع في اعتبارك كثير الحدود البسيطx2 – 4س:
يظهر الفحص الموجز أنه يمكنك العاملxمن كلا المصطلحين في كثير الحدود ، والذي يمنحك:
× (× - 4)
اضبط كل حد على صفر. هذا يعني حل معادلتين:
س = 0
هو المصطلح الأول الذي تم ضبطه على الصفر ، و
س - 4 = 0
هل المصطلح الثاني مضبوط على الصفر.
لديك بالفعل حل الفصل الأول. إذاx= 0 ، فالتعبير بأكمله يساوي صفرًا. وبالتاليx= 0 هي إحدى الجذور أو الأصفار لكثير الحدود.
الآن ، انظر إلى الحد الثاني وحل من أجلx. إذا أضفت 4 إلى كلا الجانبين ، فسيكون لديك:
س - 4 + 4 = 0 + 4
الذي يبسط إلى:
س = 4
حتى إذاx= 4 إذن العامل الثاني يساوي صفرًا ، مما يعني أن كثير الحدود بالكامل يساوي صفرًا أيضًا.
نظرًا لأن كثير الحدود الأصلي كان من الدرجة الثانية (أعلى الأس هو اثنان) ، فأنت تعلم أنه لا يوجد سوى جذران محتملان لكثير الحدود. لقد وجدت كلاهما بالفعل ، لذلك كل ما عليك فعله هو سردهما:
س = 0 ، س = 4
البحث عن الجذور عن طريق التحليل: مثال 2
إليك مثال آخر عن كيفية إيجاد الجذور عن طريق التحليل ، باستخدام بعض الجبر الرائع على طول الطريق. ضع في اعتبارك كثير الحدودx4 – 16. إن إلقاء نظرة سريعة على الأسس يوضح أنه يجب أن يكون هناك أربعة جذور لهذه كثيرة الحدود ؛ حان الوقت الآن للعثور عليهم.
هل لاحظت أنه يمكن إعادة كتابة كثير الحدود كفرق بين المربعات؟ لذلك بدلا منx4 - 16 لديك:
(x ^ 2) ^ 2-4 ^ 2
والتي ، باستخدام معادلة فرق المربعات ، عوامل إلى ما يلي:
(س ^ 2-4) (س ^ 2 + 4)
الحد الأول هو ، مرة أخرى ، فرق المربعات. لذلك ، على الرغم من أنه لا يمكنك تحليل المصطلح الموجود على اليمين أكثر من ذلك ، يمكنك تحليل المصطلح الموجود على اليسار خطوة أخرى:
(س - 2) (س + 2) (س ^ 2 + 4)
حان الوقت الآن لإيجاد الأصفار. سرعان ما يصبح من الواضح إذاx= 2 ، العامل الأول يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن التعبير بالكامل سيساوي صفرًا.
وبالمثل ، إذاx= −2 ، فإن العامل الثاني سيساوي الصفر ، وبالتالي فإن التعبير بأكمله سيساوي.
وبالتاليx= 2 وx= −2 كلاهما أصفار أو جذور لكثير الحدود.
لكن ماذا عن هذا الفصل الأخير؟ لأنه يحتوي على أس "2" ، يجب أن يكون له جذران. لكن لا يمكنك تحليل هذا التعبير باستخدام الأعداد الحقيقية التي اعتدت عليها. يجب أن تستخدم مفهومًا رياضيًا متقدمًا للغاية يسمى الأعداد التخيلية أو ، إذا كنت تفضل ذلك ، الأعداد المركبة. هذا بعيد جدًا عن نطاق ممارسة الرياضيات الحالية ، لذا يكفي الآن ملاحظة أن لديك جذرين حقيقيين (2 و 2) ، وجذرين خياليين ستتركهما غير معرّفين.
البحث عن الجذور من خلال الرسم البياني
يمكنك أيضًا العثور على الجذور أو تقديرها على الأقل عن طريق الرسم البياني. يمثل كل جذر نقطة يتقاطع فيها الرسم البياني للدالة معxمحور. لذلك إذا قمت برسم الخط على الخط ثم دوِّنxينسق حيث يتقاطع الخط معxالمحور ، يمكنك إدراج المقدرةxقيم هذه النقاط في المعادلة الخاصة بك وتحقق لمعرفة ما إذا كنت قد حصلت عليها بشكل صحيح.
ضع في اعتبارك المثال الأول الذي عملت به في كثير الحدودx2 – 4x. إذا قمت برسمه بعناية ، فسترى أن الخط يتقاطع معxالمحور فيx= 0 وx= 4. إذا أدخلت كل من هذه القيم في المعادلة الأصلية ، فستحصل على:
0^2 - 4(0) = 0
وبالتاليx= 0 كان صفرًا أو جذرًا صالحًا لكثير الحدود.
4^2 - 4(4) = 0
وبالتاليx= 4 هو أيضًا صفر أو جذر صالح لكثير الحدود. ولأن كثير الحدود كان من الدرجة 2 ، فأنت تعلم أنه يمكنك التوقف عن البحث بعد إيجاد جذر.