خواص المعادلات الجبرية

تكون المعادلات صحيحة إذا كان كلا الطرفين متماثلين. توضح خصائص المعادلات المفاهيم المختلفة التي تحافظ على كلا طرفي المعادلة كما هو ، سواء كنت تقوم بالجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة. في الجبر ، تشير الأحرف إلى أرقام لا تعرفها ، وتتم كتابة الخصائص بأحرف لإثبات أنه مهما كانت الأرقام التي توصلها بها ، ستعمل دائمًا لتكون صحيحة. قد تفكر في هذه الخصائص على أنها "قواعد جبرية" يمكنك استخدامها لمساعدتك في حل مسائل الرياضيات.

الخصائص النقابية والتبادلية كلاهما له صيغ للجمع والضرب. الخاصية التبديل من إضافةيقول أنه إذا أضفت رقمين ، فلا يهم الترتيب الذي وضعتهما فيهما. على سبيل المثال ، 4 + 5 هي نفسها 5 + 4. الصيغة هي:

أي أرقام تقوم بالتوصيل بهاأوبستظل تجعل الخاصية صحيحة.

الخاصية تبادلية الضربيقرأ الصيغة

هذا يعني أنه عند ضرب رقمين ، لا يهم الرقم الذي تكتبه أولاً. ستظل تحصل على 10 إذا ضربت 2 × 5 أو 5 × 2.

الالملكية الترابطية للإضافةيقول أنه إذا جمعت رقمين وأضفتهما ، ثم أضفت رقمًا ثالثًا ، فلا يهم التجميع الذي تستخدمه. في شكل الصيغة ، يبدو

على سبيل المثال

وبالمثل ، إذا ضربت رقمين ثم ضربت هذا المنتج في رقم ثالث ، فلا يهم أي رقمين تضربهما أولاً. في صيغة الصيغة ،الخاصية الترابطية للضربيشبه

على سبيل المثال ، (2 × 3) 4 يبسط إلى 6 × 4 ، وهو ما يساوي 24. إذا كنت في المجموعة 2 (3 × 4) ، فسيكون لديك 2 × 12 ، وسيمنحك هذا أيضًا 24.

الخاصية متعديةيقول ذلك إذاأ​ = ​بوب​ = ​ج، ومن بعدأ​ = ​ج. تستخدم هذه الخاصية غالبًا في الاستبدال الجبري. على سبيل المثال،

إذا كنت تعلم أن هاتين القيمتين متساويتان ، يمكنك إيجاد قيمةx. عندما تعرفx، يمكنك حلهاذاذا كان ضروري.

الخاصية التوزيعيسمح لك بالتخلص من الأقواس إذا كان هناك مصطلح خارجها ، مثل 2 (x− 4). تشير الأقواس في الرياضيات إلى الضرب ، وتوزيع شيء ما يعني أنك تمرره. لذلك ، لاستخدام خاصية التوزيع لإزالة الأقواس ، اضرب الحد خارجها فيكلمصطلح بداخلهم. لذلك ، ستضرب 2 وxللحصول على 2x، وستضرب 2 و 4 لتحصل على 8. مبسط ، يبدو هذا كما يلي:

صيغة خاصية التوزيع هي

يمكنك أيضًا استخدام خاصية التوزيع لاستخراج عامل مشترك من التعبير. هذه الصيغة

على سبيل المثال ، في التعبير 3x+ 9 ، كلا المصطلحين يقبلان القسمة على 3. اسحب العامل إلى خارج الأقواس واترك الباقي بداخله: 3 (x​ + 3).

الالخاصية العكسية المضافةتقول أنك إذا أضفت رقمًا واحدًا بإصداره المعكوس أو السالب ، فستحصل على صفر. على سبيل المثال ، −5 + 5 = 0. في مثال العالم الحقيقي ، إذا كنت مدينًا لشخص ما بـ 5 دولارات ، ثم تلقيت 5 دولارات ، فلا يزال لديك أي أموال لأنه يتعين عليك دفع 5 دولارات لسداد الدين. الصيغة

الخاصية معكوس مضاعفتقول أنك إذا ضربت رقمًا في كسر بواحد في البسط وهذا الرقم في المقام ، فستحصل على واحد:

إذا قمت بضرب 2 في 1/2 ، فستحصل على 2/2. أي رقم على نفسه يكون دائمًا 1.

​خصائص النفيتملي ضرب الأعداد السالبة. ستكون إجابتك سالبة إذا قمت بضرب رقم سالب وموجب:

ستكون إجابتك موجبة إذا قمت بضرب رقمين سالبين:

إذا كان لديك سالب خارج الأقواس ، فإن هذا السالب مرتبط بـ 1 غير المرئي. يتم توزيع −1 على كل حد داخل الأقواس. الصيغة

على سبيل المثال

لأن ضرب 1 و 3 يعطيك 3.

الخاصية هوية الإضافةتنص على أنك إذا أضفت أي رقم وصفر ، فستحصل على الرقم الأصلي:

على سبيل المثال،

الخاصية الضرب للصفرتنص على أنه عندما تضرب أي رقم في صفر ، ستحصل دائمًا على صفر:

على سبيل المثال

باستخدامخاصية المنتج الصفرية ،يمكنك أن تعرف على وجه اليقين أنه إذا كان حاصل ضرب عددين هو صفر ، فإن أحد المضاعفات هو صفر. تنص الصيغة على ذلك

تنص خصائص المساواة على أن ما تفعله بأحد طرفي المعادلة ، يجب أن تفعله بالآخر. الإضافة خاصية المساواةتنص على أنه إذا كان لديك رقم في أحد الجوانب ، فيجب عليك إضافته إلى الجانب الآخر. على سبيل المثال،

الخاصية طرح المساواةينص على أنه إذا طرحت رقمًا من جانب ، فيجب عليك طرحه من الجانب الآخر. على سبيل المثال،

هذا من شأنه أن يمنحك

وxسيساوي 5 في كلا المعادلتين.

الخاصية الضرب من المساواةتنص على أنه إذا قمت بضرب رقم في أحد الجانبين ، فيجب عليك ضربه في الآخر. تتيح لك هذه الخاصية حل معادلات القسمة. على سبيل المثال ، إذا

اضرب كلا الطرفين في 4 لتحصل علىx​ = 8.

التقسيم ملكية المساواةيسمح لك بحل معادلات الضرب لأن ما تقسمه على أحد الجانبين يجب أن تقسمه على الجانب الآخر. على سبيل المثال ، قسمة

بمقدار 2 على كلا الجانبين ، مما ينتج عنه