يمكن كتابة معادلة المستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد بطريقة جبرية مثل ax + by + cz = d ، حيث يكون واحدًا على الأقل من يجب ألا تكون ثوابت العدد الحقيقي "a" و "b" و "c" صفرًا ، وتمثل "x" و "y" و "z" محاور الأبعاد الثلاثية طائرة. إذا تم إعطاء ثلاث نقاط ، يمكنك تحديد المستوى باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي. المتجه هو خط في الفضاء. حاصل الضرب الاتجاهي هو ضرب متجهين.
احصل على النقاط الثلاث على الطائرة. قم بتسميتها "أ" و "ب" و "ج". على سبيل المثال ، افترض أن هذه النقاط هي A = (3 ، 1 ، 1) ؛ ب = (1 ، 4 ، 2) ؛ و C = (1 ، 3 ، 4).
أوجد متجهين مختلفين على المستوى. في المثال ، اختر المتجهين AB و AC. ينتقل المتجه AB من النقطة A إلى النقطة B ، وينتقل المتجه AC من النقطة A إلى النقطة C. لذا اطرح كل إحداثي في النقطة A من كل إحداثي في النقطة B للحصول على المتجه AB: (-2 ، 3 ، 1). وبالمثل ، فإن المتجه AC هو النقطة C ناقص النقطة A ، أو (-2 ، 2 ، 3).
احسب الناتج العرضي للمتجهين للحصول على متجه جديد ، وهو أمر طبيعي (أو عمودي أو متعامد) لكل من المتجهين وكذلك على المستوى. حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين (a1 ، a2 ، a3) و (b1 ، b2 ، b3) ، يُعطى بواسطة N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). في المثال ، حاصل الضرب الاتجاهي ، N ، لـ AB و AC هو i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [(( -2 × 2) - (3 س - 2)] ، والتي تبسط إلى N = 7i + 4j + 2k. لاحظ أن "i" و "j" و "k" تُستخدم لتمثيل إحداثيات المتجهات.
اشتق معادلة المستوى. معادلة المستوى هي Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0 ، حيث (a1، a2، a3) هي أي نقطة في المستوى و (Ni، Nj، Nk ) هو المتجه الطبيعي ، N. في المثال ، باستخدام النقطة C ، وهي (1 ، 3 ، 4) ، معادلة المستوى هي 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0 ، مما يبسط إلى 7 س - 7 + 4 ص - 12 + 2 ز - 8 = 0 ، أو 7 س + 4 ص + 2 ع = 27.
تحقق من إجابتك. عوّض بالنقاط الأصلية لترى ما إذا كانت تحقق معادلة المستوى. لاختتام المثال ، إذا قمت باستبدال أي من النقاط الثلاث ، فسترى أن معادلة المستوى محققة بالفعل.
نصائح
راجع الموارد للحصول على نصائح حول كيفية استخدام أنظمة من ثلاث معادلات متزامنة لإيجاد معادلة مستوى.