كثيرات الحدود غالبًا ما تكون نتاجًا لعوامل كثيرة الحدود أصغر. العوامل ذات الحدين هي عوامل كثيرة الحدود لها فترتان بالضبط. تعتبر العوامل ذات الحدين مثيرة للاهتمام لأنه من السهل حل المعادلات ذات الحدين ، وجذور العوامل ذات الحدين هي نفسها جذور كثير الحدود. تحليل كثير الحدود هو الخطوة الأولى لإيجاد جذورها.
يعد رسم كثير الحدود خطوة أولى جيدة في إيجاد عواملها. النقاط التي يتقاطع فيها المنحنى البياني مع المحور X هي جذور كثير الحدود. إذا تجاوز المنحنى المحور عند النقطة p ، فإن p هو جذر كثير الحدود و X - p هو عامل كثير الحدود. يجب عليك التحقق من العوامل التي تحصل عليها من الرسم البياني لأنه من السهل أن تخطئ في القراءة من الرسم البياني. من السهل أيضًا فقدان عدة جذور على الرسم البياني.
تتكون العوامل ذات الحدين المرشحة لكثيرات الحدود من توليفات من عوامل الرقمين الأول والأخير في كثير الحدود. على سبيل المثال ، 3X ^ 2 - 18X - 15 لها الرقم الأول 3 ، مع العوامل 1 و 3 ، والرقم الأخير 15 ، مع العوامل 1 و 3 و 5 و 15. العوامل المرشحة هي X - 1، X + 1، X - 3، X + 3، X - 5، X + 5، X - 15، X + 15، 3X - 1، 3X + 1، 3X - 3، 3X + 3 ، 3 س - 5 ، 3 س + 5 ، 3 س - 15 و 3 س + 15.
بتجربة كل من العوامل المرشحة ، نجد أن 3X + 3 و X - 5 نقسم 3X ^ 2 - 18X - 15 بدون باقي. إذن 3X ^ 2 - 18X - 15 = (3X + 3) (X - 5). لاحظ أن 3X + 3 عامل كنا سنفتقده إذا اعتمدنا على الرسم البياني وحده. سيعبر المنحنى المحور X عند -1 ، مما يشير إلى أن X - 1 عامل. بالطبع ، هذا حقًا لأن 3X ^ 2 - 18X - 15 = 3 (X + 1) (X - 5).
بمجرد حصولك على العوامل ذات الحدين ، يصبح من السهل العثور على جذور كثير الحدود - جذور كثير الحدود هي نفسها جذور ذات الحدين. على سبيل المثال ، جذور 3X ^ 2 - 18X - 15 = 0 ليست واضحة ، ولكن إذا كنت تعلم أن 3X ^ 2 - 18X - 15 = (3X + 3) (X - 5) ، جذر 3X + 3 = 0 هو X = -1 وجذر X - 5 = 0 هو X = 5.