تبدو التعبيرات العقلانية أكثر تعقيدًا من الأعداد الصحيحة الأساسية ، لكن قواعد ضربها وتقسيمها سهلة الفهم. سواء كنت تتعامل مع تعبير جبري معقد أو تتعامل مع كسر بسيط ، فإن قواعد الضرب والقسمة هي نفسها بشكل أساسي. بعد أن تتعلم ماهية التعبيرات المنطقية وكيفية ارتباطها بالكسور العادية ، ستتمكن من ضربها وتقسيمها بثقة.
TL ؛ DR (طويل جدًا ؛ لم أقرأ)
يعمل الضرب والقسمة على التعبيرات الكسرية تمامًا مثل ضرب الكسور والقسمة. لضرب مقدارين كسريين ، اضرب البسطين في بعضهما ، ثم اضرب المقامين معًا.
لقسمة تعبير منطقي على آخر ، اتبع نفس قواعد قسمة كسر على آخر. أولًا ، اقلب الكسر في المقسوم عليه (الذي تقسمه) رأسًا على عقب ، ثم اضربه في الكسر في المقسوم (الذي تقسمه).
ما هو التعبير العقلاني؟
يصف المصطلح "التعبير المنطقي" كسرًا حيث يكون البسط والمقام متعدد الحدود. كثير الحدود هو تعبير مثل
2x ^ 2 + 3x + 1
تتكون من ثوابت ومتغيرات وأسس (غير سالبة). التعبير التالي:
\ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4}
يقدم مثالا للتعبير العقلاني. هذا بشكل أساسي له شكل كسر ، فقط مع بسط ومقام أكثر تعقيدًا. لاحظ أن التعبيرات المنطقية تكون صالحة فقط عندما لا يساوي المقام صفرًا ، لذا فإن المثال أعلاه يكون صالحًا فقط عندماx ≠ 2.
ضرب التعابير المنطقية
يتبع ضرب التعبيرات المنطقية أساسًا نفس القواعد مثل ضرب أي كسر. عندما تضرب كسرًا ، فإنك تضرب بسطًا في الآخر ومقامًا في الآخر ، وعندما تضرب المقادير الكسرية ، تضرب بسطًا واحدًا كاملاً في البسط الآخر والمقام كله في البسط الآخر المقام - صفة مشتركة - حالة.
لكسر تكتب:
\ start {align} \ frac {2} {5} × \ frac {4} {7} & = \ frac {2 × 4} {5 × 7} \\ \، \\ & = \ frac {8} { 35} \ نهاية {محاذاة}
بالنسبة إلى تعبيرين منطقيين ، تستخدم نفس العملية الأساسية:
\ start {align} \ frac {x + 5} {x - 4} × \ frac {x} {x + 1} & = \ frac {(x + 5) × x} {(x - 4) × (x + 1)} \\ \، \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2 -4x + x - 4} \\ \، \\ & = \ frac {x ^ 2 + 5x} { س ^ 2 - 3 س - 4} \ نهاية {محاذاة}
عندما تضرب عددًا صحيحًا (أو تعبير جبري) في كسر ، فإنك ببساطة تضرب بسط الكسر في العدد الصحيح. هذا لأن أي عدد صحيحنيمكن كتابتها كـن/ 1 ، ثم اتباع القواعد القياسية لضرب الكسور ، فإن العامل 1 لا يغير المقام. يوضح المثال التالي هذا:
\ start {align} \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × x & = \ frac {x + 5} {x ^ 2 - 4} × \ frac {x} {1} \\ \، \\ & = \ frac {(x + 5) × x} {(x ^ 2 - 4) × 1} \\ \، \\ = & \ frac {x ^ 2 + 5x} {x ^ 2 - 4} \ نهاية {محاذاة}
قسمة التعبيرات المنطقية
مثل ضرب التعبيرات المنطقية ، فإن قسمة التعبيرات المنطقية تتبع نفس القواعد الأساسية لقسمة الكسور. عندما تقسم كسرين ، فإنك تقلب الكسر الثاني رأسًا على عقب كخطوة أولى ، ثم تضرب. وبالتالي:
\ start {align} \ frac {4} {5} ÷ \ frac {3} {2} & = \ frac {4} {5} × \ frac {2} {3} \\ \، \\ & = \ frac {4 × 2} {5 × 3} \\ \، \\ & = \ frac {8} {15} \ end {align}
تعمل قسمة تعبيرين عقلانيين بنفس الطريقة ، لذلك:
\ start {align} \ frac {x + 3} {2x ^ 2} ÷ \ frac {4} {3x} & = \ frac {x + 3} {2x ^ 2} × \ frac {3x} {4} \ \ \، \\ & = \ frac {(x + 3) × 3x} {2x ^ 2 × 4} \\ \، \\ & = \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} \ end { محاذاة}
يمكن تبسيط هذا المقدار ، لأن هناك عاملًا هوx(بما فيهاx2) في كلا الحدين في البسط وعاملx2 في المقام. مجموعة واحدة منxيمكن إلغاء لإعطاء:
\ start {align} \ frac {3x ^ 2 + 9x} {8x ^ 2} & = \ frac {x (3x + 9)} {8x ^ 2} \\ & = \ frac {3x + 9} {8x} \ نهاية {محاذاة}
يمكنك فقط تبسيط التعبيرات عندما يمكنك إزالة عامل من التعبير بالكامل في الأعلى والأسفل على النحو الوارد أعلاه. التعبير التالي:
\ frac {x - 1} {x}
لا يمكن تبسيطه بنفس الطريقة لأن ملفxفي المقام يقسم الحد كله في البسط. يمكنك أن تكتب:
\ start {align} \ frac {x-1} {x} & = \ frac {x} {x} - \ frac {1} {x} \\ & = 1 - \ frac {1} {x} \ end {محاذاة}
إذا أردت ، رغم ذلك.